Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим определитель ∆
x
, полученный из определителя системы ∆ заме-
ной его первого столбца на столбец свободных членов и определитель ∆
y
, полу-
ченный соответственно заменой второго столбца на столбец свободных членов
∆
x
=
b
1
a
12
b
2
a
22
, ∆
y
=
a
11
b
1
a
21
b
2
С помощью определителя, если ∆ 6= 0, решение системы (1) можно записать
в виде
x
0
=
∆
x
∆
, y
0
=
∆
y
∆
. (9)
Правило Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система
имеет единственное решение (x
0
; y
0
), которое находят по формулам (9).
Пример
Для всех значений параметра a решить систему
ax − 4y = a + 1,
2x + (a + 6)y = a + 3.
Вычислим определитель
∆ =
a −4
2 a + 6
= a(a + 6) − (−4) · 2 = a
2
+ 6a + 8.
Найдем, при каких a определитель ∆ = 0, для этого решим уравнение a
2
+
6a + 8 = 0, его корни a = −4, a = −2.
Для нахождения решения (x
0
; y
0
) системы воспользуемся правилом Краме-
ра, для этого вычислим определители
∆
x
=
a + 1 −4
a + 3 a + 6
= (a + 1)(a + 6) − (−4)(a + 3) = a
2
+ 11a + 18,
∆
y
=
a a + 1
2 a + 3
= a)(a + 3) − 2(a + 1) = a
2
+ a − 2.
Таким образом, при a 6= −4, a 6= −2 система имеет единственное решение
x
0
=
a
2
+ 11a + 18
a
2
+ 6a + 8
, y
0
=
a
2
+ a − 2
a
2
+ 6a + 8
.
7
   Рассмотрим определитель Δx , полученный из определителя системы Δ заме-
ной его первого столбца на столбец свободных членов и определитель Δy , полу-
ченный соответственно заменой второго столбца на столбец свободных членов
                            �        �        �        �
                            � b1 a12 �        � a11 b1 �
                            �        �        �        �
                      Δx = ��        � , Δy = �
                                     �        �
                                                       �
                                                       �
                              b  a
                            � 2 22 �            a   b
                                              � 21 2 �
   С помощью определителя, если Δ �= 0, решение системы (1) можно записать
в виде

                                    Δx                Δy
                             x0 =      ,       y0 =      .                 (9)
                                    Δ                 Δ
  Правило Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система
имеет единственное решение (x0 ; y0 ), которое находят по формулам (9).

  Пример
  Для всех значений параметра a решить систему
                        
                         ax − 4y = a + 1,
                           2x + (a + 6)y = a + 3.

  Вычислим определитель
                �           �
                �a   −4     �
                �           �
           Δ = ��           � = a(a + 6) − (−4) · 2 = a2 + 6a + 8.
                            �
                � 2 a+6     �

   Найдем, при каких a определитель Δ = 0, для этого решим уравнение a2 +
6a + 8 = 0, его корни a = −4, a = −2.
   Для нахождения решения (x0 ; y0 ) системы воспользуемся правилом Краме-
ра, для этого вычислим определители
            �            �
            � a+1     −4 �
            �            �
      Δx = ��            � = (a + 1)(a + 6) − (−4)(a + 3) = a2 + 11a + 18,
                         �
            � a+3 a+6 �
           �         �
           � a a+1   �
           �         �
     Δy = ��         � = a)(a + 3) − 2(a + 1) = a2 + a − 2.
                     �
           � 2 a+3   �

  Таким образом, при a �= −4, a �= −2 система имеет единственное решение
                       a2 + 11a + 18                a2 + a − 2
                   x0 = 2            ,         y0 = 2          .
                        a + 6a + 8                 a + 6a + 8
                                           7

Страницы