Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22 23
Подставив (38) в функционал полной энергии деформации оболоч-
ки и выполнив интегрирование по переменным
yx,
от известных функ-
ций, приведем функционал к функции неизвестных числовых парамет-
ров, которые являются значениями неизвестных функций в узлах разби-
ения области. Найдя производные от функционала по этим неизвестным
параметрам и приравняв их нулю, получим систему
алгебраических урав-
нений (система Ритца).
Производные от функционала берутся по параметрам, соответству-
ющим внутренним узловым точкам.
Всего неизвестных параметров будет

11 nmk
.
Число уравнений будет

11 nmk
.
Недостающие уравнения получаются из краевых условий, которых
будет при
5
k
(неизвестные функции
yx
WVU \\ ,,,,
)
nm 1
0
1
0
.
С помощью краевых условий значения неизвестных функций в гра-
ничных точках выражаются через значения неизвестных функций во
внутренних узлах для того, чтобы система алгебраических уравнений
(система Ритца) была корректной (имела единственное решение).
Рассмотрим еще аппроксимацию неизвестных функций сплайнами
третьей степени. В методе конечных элементов используется многочлен
Эрмита.
Вдоль оси
x
они будут иметь вид




.)(
;
2
)(
;
23
)(
;
23
)(
2
11
12
2
3
1
2
11
2
11
3
3
1
2
1
02
3
11
3
01
32
32
x
jjx
x
jjxjx
x
jjx
x
jjxx
h
xxxxh
xE
h
xxxxhxxh
xE
h
xxxxh
xE
h
xxxxhh
xE
(41)
Вдоль оси
y
многочлены Эрмита будут иметь вид










.)(
;
2
)(
;
23
)(
;
23
)(
2
3
1
2
1
12
2
3
1
2
11
2
11
3
3
1
2
1
02
3
3
1
2
1
3
01
i
y
ii
i
y
i
y
ii
i
yi
i
y
i
y
ii
i
y
i
y
ii
i
y
i
y
h
yyyyh
yE
h
yyyyhyyh
yE
h
yyyyh
yE
h
yyyyhh
yE
Значения этих полиномов в узловых точках
ijij
ZZ
,11,1
,,
ijij
ZZ
,1,
,
имеют вид
.0)(;0)(;0)(;0)(
;1)(;0)(;0)(;1)(
;0)(;0)(;0)(;0)(
;1)(;0)(;0)(;1)(
1211211111
0210201101
1211211111
0210201101
iiii
iiii
jjjj
jjjj
yEyEyEyE
yEyEyEyE
xExExExE
xExExExE
(43)
Оказывается, что не только значения полиномов Эрмита в узловых
точках равны нулю или единице, но и значения производных от них
в узловых точках равны нулю или единице.
Найдем значения производных по
x
от полиномов
)(
1
1
xE
и
)(
1
2
xE
и производных по
y
от полиномов
)(
1
1
yE
и
)(
1
2
yE
в узловых точках.ах.
Значения первых производных по x от
)(
01
xE
,
)(
02
xE
и первых про-
изводных по
y
от
)(
01
yE
,
)(
02
yE
в узловых точках равны нулю.лю.
Итак, получим


;
32
)(
;
34
)(
2
2
11
12
2
2
11
2
11
x
jjx
x
jjxx
h
xxxxh
xE
h
xxxxhh
xE
c
c
(42)

Страницы