Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26 27
Подставив (51) в (49), получим невязку
f
Lu
n
. Если
n
u
– точноее
решение, то невязка равна нулю.
Суть метода состоит в том, что если невязка близка к нулю, то мож-
но считать, что она ортогональна к любой функции
),( y
x
i
M
. Ус л о в и е
ортогональности имеет вид

³³
M
S
jn
dxdyyxfLu 0),(
.),...
,
2,1( nj
(52)
После вычисления интегралов в (52) от известных функций полу-
чим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения
n
ccс ,...,,
21
, если
L
– линейный оператор. Найдя
i
c
и подставив их
в (51), получим приближенное решение краевой задачи.
Сходимость метода Бубнова – Галеркина для широкого круга задач
(в том числе задач механики) была доказана.
В общем случае краевые условия могут иметь вид
),(][
Г
yxuR <
,
где
][uR
– некоторый оператор, содержащий производные искомой
функции меньшего порядка, чем в уравнении (49), и тогда решение
берется в виде
¦
MM
n
i
iin
yxcyxyxu
1
0
),(),(),(
,
где
),(),(
Г
0
yxyx < M
, а
.0),(
Г
M yx
i
Например, если условия имеют вид
Aau )(
,
Bbu )(
, тоо
ba
Abx
ab
Bax
x
M
)()(
)(
0
.
Используя метод Бубнова – Галеркина, можно найти прогиб
),( y
x
W
прямоугольной пластинки (плиты), закрепленной по контуру шарнирно-
неподвижно и находящейся под действием равномерно распределенной
поперечной нагрузки
q
.
Считая прогиб пластинки малым, уравнение изгиба можно запи-
сать в виде
,2
4
4
22
4
4
4
q
y
W
yx
W
x
W
D
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
ww
w
w
w
(53)
где
)1(12
2
3
P
Eh
D
;
h
– толщина пластинки;
P,
E
– модуль упругостисти
и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно.
Краевые условия имеют вид:
при
,0 x
ax
0
W
,
0
2
2
w
w
x
W
; (54)
при
byy ,0
0
W
,
0
2
2
w
w
y
W
. (55)
Исходя из краевых условий (54), (55) аппроксимирующие функции
для прогиба в методе Бубнова – Галеркина возьмем в виде
b
jy
a
ix
yx
ij
SS
M sinsin),(
.
Решение примем в виде
b
y
a
x
cyxcW
SS
M sinsin),(
11111
. (56)
Согласно методу Бубнова – Галеркина для определения
1
c
имеем
условие
³³
SS
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
ww
w
w
w
ab
dxdy
b
y
a
x
D
q
y
W
yx
W
x
W
00
4
1
4
22
1
4
4
1
4
0sinsin2
.
После вычисления интегралов от известных функций получим
24
4
2
2
4
4
1
4
21
4 S
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
S ab
D
q
b
a
b
a
a
ab
с
,
откуда
226
4
1
)1(
16
OS
D
qa
c
,

Страницы