Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28 29
где
b
a
O
.
Следовательно,
b
y
a
x
D
qa
yxWyxW
SS
OS
| sinsin
)1(
16
),(),(
226
4
1
.
Для квадратной плиты
)( ba
получим
|),( y
x
W
.sinsin
4
6
4
b
y
a
x
D
qa SS
S
(57)
Максимальный прогиб (при
2
,
2
b
y
a
x
) такой плиты будет равен
(принято
)3,0 P
3
4
max
0454,0
Eh
qa
W |
.
7. МЕТОД ВЛАСОВА – КАНТОРОВИЧА
В ФОРМЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА
Почти одновременно с Л. В. Канторовичем был предложен
В. З. Власовым аналогичный метод решения краевых задач для диффе-
ренциальных уравнений, который позволяет свести краевую задачу для
дифференциальных уравнений в частных производных к системам обык-
новенных дифференциальных уравнений.
Решение в этом методе принимается в таком же
виде, как в методе
Л. В. Канторовича, т. е. линейно зависящем от функции одной перемен-
ной, а далее выполняется процедура нахождения решения, как в методе
Бубнова – Галеркина.
Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию
),,( tyxu
,
удовле творяющую в области S:{
ax dd0
;
by dd0
;
T
t
dd0
} диффе-фе-
ренциальному уравнению
),,( tyxfLu
, (58)
на границе области Г по пространственным координатам
y
x
,
– краевым
условиям
),(
Г
yxu <
, (59)
a по временной переменной t – начальным условиям. Приближенное
решение возьмем в виде
¦
MM
n
i
iin
yxtfyxtyxu
1
0
),()(),(),,(
, (60)
где
)(t
f
i
– неизвестные функции переменной t;
),( y
x
i
M
– известные
аппроксимирующие функции, удовлетворяющие однородным краевым
условиям
0),(
Г
M yx
i
, (61)
а
),(
0
y
x
M
– известная функция, удовлетворяющая условию
),(),(
Г
0
yxyx < M
.
Ус л о в и е ортогональности невязки
fLu
n
к функциям
),( yx
i
M
дает
систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
функций
)(t
f
i

³³
M
ab
jn
dxdyyxfLu
00
0),(
).,...
,
2,1( nj
(62)
Решив эту систему при заданных начальных условиях по перемен-
ной
t , найдем искомые функции
)(t
f
i
, а подставив их в (60), найдем
приближенное решение поставленной краевой задачи.
В качестве примера рассмотрим динамическую задачу для жестких
пластинок.
Уравнение движения такой пластины имеет вид
),,,(2
2
2
4
4
22
4
4
4
tyxq
t
W
A
y
W
yx
W
x
W
D
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
ww
w
w
w
(63)
где
g
h
А
J
.

Страницы