Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32 33
.0),(
00
PXF
Рассмотрим окрестность А точки
).,(
00
PX
Свойства решений сис-
темы (69) в этой окрестности устанавливает теорема о неявных функци-
ях. Если выполняются условия:
1) вектор-функция
F
(т. е. все
),1( mif
i
) определена и непре-
рывна в A;
2) в A существуют и непрерывны частные производные от F по
всем
),1( mif
i
аргументам
),1( mjx
j
и по параметру у P;
3) в точке
),(
00
PX
отличен от нуля якобиан вектор-функции F
,0)(det zJ
(70)
где
),...,2,1,(
)...,,,(
)...,,,(
21
21
mji
x
f
xxx
fff
X
F
J
j
i
m
m
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
, то в некоторой
окрестности точки
),(
00
PX
решения
),1( mix
i
системы (69) являютсяся
однозначными непрерывными функциями P
),1()( miPxx
ii
, (71)
такими, что
),1()(
00
mixPx
ii
и производные
d
P
dx
i
также непре-
рывны в этой окрестности.
Таким образом, теорема о неявных функциях устанавливает, что при
выполнении условий 1–3 решение системы (69) в некоторой окрестнос-
ти точки
),(
00
PX
образует единственную кривую
K
, которая имеет па-
раметрическое представление (71) и проходит через точку
).,(
00
PX
Что-
бы получить теперь решение
1
X
системы (69) при близком к
0
P
значе-
нии
1
P
, нужно продвинуться вдоль кривой
K
. При этом точка а
),(
11
PX
должна оставаться внутри окрестности A. Если условия 1–3 выполня-
ются в точке
),(
11
PX
, то решение снова можно продолжить и т. д.
Рассмотрим, как практически перейти от точки
),(
00
PX
к точкее
),(
11
PX
.
Продифференцируем (69) по параметру
P
. В результате получим
систему дифференциальных уравнений
,0
w
w
w
w
P
F
P
X
J
(72)
где
X
F
J
w
w
.
Система (72) линейна относительно
d
P
dX
. Ее решение при условии,
что
0)det
(
zJ
, приводит к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
.
1
P
F
J
P
X
w
w
w
w
(73)
То, что при
0
PP
решение
0
X
известно, позволяет сформулиро-
вать задачу определения решения
)(
P
X
как задачу Коши для системы
(73) при начальном условии
.)(
00
XPX
(74)
Для решения начальной задачи (73), (74) можно применять методы
Эйлера, Рунге – Кутта, Адамса и другие.
9. ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Для решения некоторых задач расчета строительных конструкций
требуется применение последовательности нескольких методов. Так, при
решении нелинейных задач для оболочек, содержащих ребра, накладки
и вырезы, применяется последовательность методов, позволяющая све-
сти нелинейную задачу к
последовательному решению линейных задач
и затем краевую задачу для дифференциальных уравнений в частных
производных к системе линейных алгебраических уравнений. Кроме того,
желательно еще выбрать оптимальные параметры оболочки (жесткость
подкреплений оболочки ребрами и кривизну). Все эти задачи позволяет
решить вариационно-параметрический метод (ВПМ).
Суть ВПМ при решении задач статики заключается в том, что
для
нахождения минимума функционала полной энергии деформации при-

Страницы