Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

54 55
при
ii
dycy ,
,0,0
Bi
y
Bi
yx
NN
(112)
.0,0)(2
1
П
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
w
w
w
w
w
w
¦
Bi
y
m
j
j
ij
xy
i
xy
Bi
y
Mxx
x
M
x
M
y
M
Если теперь считать ребра узкими (малы
ji
rr ,
) и предположить,
что условия (111) выполняются при
jj
bxa dd
, а условия (112) – при
ii
dyc dd
(этот факт не очевиден, так как расчеты показывают, чтоо
при уменьшении ширины ребер усилия и моменты, возникающие
в них, увеличиваются [20]), то этими составляющими силовых фак-
торов (действующими в продольном сечении ребер) можно пренебречь.
В этом случае в уравнениях равновесия (110) пренебрегаем под-
черкнутыми членами, а усилия и моменты принимаются в виде (109).
Если
теперь от единичных столбчатых функций предельным
переходом
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
G
o
)(
)(
lim
0
j
j
j
r
xx
r
xx
j
перейти к дельта-функциям, тоо
получим соотношения, встречающиеся для ребристых оболочек в
работах [10, 30, 32, 41].
В полученной таким образом математической модели деформиро-
вания ребристой оболочки учитывается при растяжении (сжатии) и из-
гибе только жесткость ребер одного направления, а при кручении жест-
кость ребер вообще не учитывается.
В экспериментальных исследованиях, проведенных С. А. Тимаше
-
вым [41], показано, что крутильная жесткость ребер оказывает существен-
ное влияние на напряженно-деформированное состояние (НДС) всей
конструкции, поэтому модель ребристой оболочки, когда ребра вводятся
по линиям с помощью дельта-функций, обладает существенным недо-
статком и является частным случаем модели оболочки ступенчато-пере-
менной толщины.
Теперь рассмотрим применение МВПП для получения уравнений
равновесия
оболочек с изломом срединной поверхности (достаточно
получить функционал полной энергии деформации).
Обычно наличие изломов срединной поверхности оболочки, парал-
лельных осям координат, связывают с дискретным изменением кривиз-
ны оболочки [31, 32], принимая ее в виде
,)(
,)(
1
1
¦
¦
GT
GT
n
i
iiyy
m
j
jjxx
yykk
xxkk
(113)
где
ijyx
R
k
R
k TT ,;
1
,
1
21
– углы изломов поверхности в направ-
лении осей х и у;
)(
j
xx G
,
)(
i
yy G
– дельта-функции.
Для расчетов НДС используют уравнения в смешанной форме, так
как в них кривизны входят в первой степени. В уравнениях равновесия
существуют члены, содержащие квадрат кривизны, и в этом случае при
наличии квадрата дельта-функции (такая величина не определена) они
теряют смысл.
Дело в том, что при наличии изломов срединной поверхности
обо-
лочки меняется ее геометрия и это обстоятельство вызывает изменение
функционала полной энергии оболочки.
Получить функционал полной энергии деформации оболочки, име-
ющей изломы срединной поверхности, можно, используя МВПП.
Заменим сначала оболочку с изломом срединной поверхности обо-
лочкой с волнистой формой поверхности (рис. 6), для этого места изло-
ма соединим дугой окружности некоторого
радиуса, а затем, после полу-
чения условий по линиям раздела кривизн из преобразованного соответ-
ствующим образом вариационного уравнения
0Э G
, устремим этот ра-
диус к нулю, получив оболочку с изломом срединной поверхности.
Зададим кривизны волнистой оболочки
x
k
,
y
k
в виде
.)(
1
)(
111
;)(
1
)(
111
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
¦
¦
¦
¦
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
n
i
iyy
n
i
iy
m
j
jxx
m
j
jx
yy
R
kk
yy
R
R
R
k
xx
R
kk
xx
R
R
R
k
(114)

Страницы