Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

62 63
.,0,
2
2
11
xd
Wd
z
z
xy
z
x
F JF H
(122)
Для линейно-упругих задач напряжения вдоль оси x физические
соотношения будут иметь вид
.
z
xx
E H V
(123)
Функционал полной энергии деформации стержня записывается
в виде
.
2
1
Э
00
2
2
³³³
HV
ll
h
h
z
xx
qWdxdxdz
(124)
Если напряжения
x
V
, умноженные на z, проинтегрировать по z
в пределах от
2
h
до
2
h
, то получим изгибающий момент
,
1
2
2
F V
³
EJzdzM
h
h
xx
(125)
где
.
h
dzzJ
h
h
12
3
2
2
2
³
Теперь функционал (124) можно записать в виде
.
2
1
Э
00
1
³³
F
ll
x
qWdxdxM
(126)
Уравнения равновесия можно получить из условия минимума это-
го функционала
0Э G
. (127)
Находя первую вариацию функционала (126) и приравнивая ее
к нулю, получим вариационное уравнение

GGFGF G
³³
ll
xx
WdxqdxMM
00
11
2
1
Э
0
00
1
GGF
³³
ll
x
WdxqdxM
.
После преобразования первого интеграла (два раза применяется
интегрирование по частям), получим
³
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
l
x
Wdxq
dx
Md
0
2
2
0Э
, (128)
откуда на основании основной линии вариационного исчисления урав-
нение равновесия будет иметь вид
0
2
2
q
d
x
Md
x
(129)
или
.
2
2
2
2
q
dx
Wd
J
dx
d
E
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
(130)
В работе Н. И. Безухова [4] говорится, что для линейного упруго-
вязкого тела и вязкопластического тела уравнения равновесия имеют тот
же вид, что и для линейно-упругого тела, т. е. дифференциальные урав-
нения равновесия для трехмерного тела
;0 U
w
Ww
w
Ww
w
Vw
X
zyx
xz
xy
x
;0 U
w
Ww
w
Vw
w
Ww
Y
zyx
yzyyx
,0 U
w
Vw
w
Ww
w
Ww
Z
zyx
z
zy
zx
где X, Y, Z – проекция объемных сил на осях x, y, z;
U
– плотность веще-
ства (справедливы для любого тела, лишь бы оно было сплошное).
Там же говорится, что решение в общем виде для упруговязкого
тела, и тем более для упруговязкопластического, получить практически

Страницы