Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

64 65
нереально, поэтому приближенные решения находят с помощью различ-
ных методов последовательных приближений.
Для первого приближения используют решение, полученное для
линейно-упругого тела, а затем применяют метод упругих решений.
При выводе уравнений равновесия для упруговязкопластического
тела приходится вводить некоторые упрощения.
При нелинейно-упругом деформировании (упругопластическое
тело) физические соотношения с использованием деформационной тео-
рии
принимают вид
,
ПУ
xxx
VV V
(131)
где
У
x
V
имеет вид (123), а
П
x
V
записывают в виде

.
z
xix
E HHZ V
(132)
Здесь функция

i
HZ
– функция А. А. Ильюшина, принимающая
различный вид для различных материалов, например

;
2
ii
mH HZ
(133)

;11
ТТ
ii
i
B
A
E
E
H
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
H
H
¸
¹
·
¨
©
§
HZ
(134)

.10,
Т
Т
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
H
H
V HZ m
m
i
i
Интенсивность деформаций для стержня принимает вид
.
3
2
1
F H z
i
(135)
Введем обозначение

.
2
2
2
3
³
HZ
h
h
i
dzzI
(136)
Функционал полной энергии деформации стержня при нелинейно-
упругом деформировании принимает вид

.
2
1
Э
00
2
2
ПУ
³³³
HVHV
ll
h
h
z
xx
z
xx
qWdxdxdz
(137)
Вводя в дополнение к (125) обозначения
,
13
П
F IEM
x
(138)
функционал (137) можно записать в виде

.
2
1
Э
00
1
ПУ
³³
F
ll
xx
qWdxdxMM
(139)
Первая вариация функционала (139) будет иметь вид
.
2
1
2
1
Э
00
П
11
П
1
У
³³
G
¸
¹
·
¨
©
§
GFGFGF G
ll
xxx
WdxqdxMMM
(140)
Если в дальнейшем для решения задачи будет применяться метод
упругих решений, т. е. итерационный процесс, когда нагрузка q разбива-
ется на части и при последовательном увеличении нагрузки члены, со-
держащие
i
H
, переносятся в первую часть и считаются известными, как
функции деформации
1
χ
, вычисленной при предыдущем значении на-
грузки q, то при нахождении первой вариации функционала (139) варьи-
рование по I
3
, содержащей
i
H
, а следовательно и
1
F
, не производится.
В этом случае
,
2
1
0
1
П
0
1
П
³³
GF FG
l
x
l
x
dxMdxM
и вариационное уравнение после соответствующих преобразований при-
нимает вид
>@
,0Э
0
ПУ
2
2
G
¿
¾
½
¯
®
G
³
WdxqMM
dx
d
l
xx
(141)
откуда уравнения равновесия будут иметь вид
>@
0
ПУ
2
2
qMM
d
x
d
xx
(142)
или

.
2
2
3
2
2
q
dx
Wd
IJ
dx
d
E
»
¼
º
«
¬
ª
(143)
В общем случае преобразуем вариацию функционала (140) с учетом
того, что

Страницы