Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6 7
1. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА
Рассмотрим некоторое тело, загруженное объемными
i
X
и поверх-
ностными
vi
p
силами на части поверхности
1
S
. На оставшейся части
поверхности тела
2
S
заданы перемещения (кинематические граничные
условия)
2
Suu
ii
. (1)
Предположим, что состояние равновесия тела характеризуется
компонентами перемещения
i
u
, шестью компонентами напряжения
ij
V
и шестью компонентами деформации
ij
H
. Далее, пусть перемещения тела
в его равновесном состоянии получили малые возможные перемещения.
Тогда согласно принципу возможных перемещений
³³³ ³³
GGG
VS
iviii
dsupdVuX
1
0П
, (2)
где
³³³
GHV G
V
ijij
dVП
– (3)
вариация потенциальной энергии деформации тела.
Принцип возможных перемещений в формулировке (2) справедлив
при любых свойствах материала тела, т. е. при произвольном законе связи
между компонентами напряжений и деформаций и при произвольном
законе кинематической связи между компонентами перемещений
i
u
и деформаций
ij
H
.
Покажем, что выполнение условия (2) приводит к тождественному
выполнению всех уравнений равновесия по объему тела и естественных
(силовых) граничных условий на части поверхности
1
S
. Для простоты
ограничимся выводом уравнения равновесия упругих пологих оболочек
малого прогиба.
При этом
z
x
H H
11
,
z
xy
J H H
2112
,
z
y
H H
22
,
0
3223133133
H H H H H
,
x
V V
11
,
xy
W V V
2112
,
y
V V
22
,
0
3223133133
V V V V V
,
1
FH H z
x
z
x
,
2
FH H z
y
z
y
,
12
2 FJ J z
xy
z
xy
.
Потенциальная энергия деформации такой оболочки будет иметь
вид

.
2
1
П
00
2
2
dxdydz
ab
h
h
z
xyxy
z
yy
z
xx
³³ ³
JWHVHV
(4)
Найдем первую вариацию функционала (4) и покажем, что выпол-
няется равенство (3)
³³ ³
GVHGHVGVHGHV G
ab
h
h
y
z
y
z
yyx
z
x
z
xx
00
2
2
2
1
П
.dxdydz
xy
z
xy
z
xyxy
GWJGJW
(5)
Используя формулы
z
y
z
xx
E
PHH
P
V
2
1
,

z
x
z
yy
E
PHH
P
V
2
1
,
z
xyxy
E
J
P
W
)2(
,
преобразуем выражение:

GWJGVHGVH
³³ ³
dxdydz
ab
h
h
xy
z
xyy
z
yx
z
x
00
2
2
 
³³ ³
«
¬
ª
PHHG
P
HPHHG
P
H
ab
h
h
z
x
z
y
z
y
z
y
z
x
z
x
EE
00
2
2
22
11

³³ ³
«
¬
ª
GHPHH
P
»
¼
º
GJ
P
J
ab
h
h
z
x
z
y
z
x
z
xy
z
xy
E
dxdydz
E
00
2
2
2
1
)1(2

»
¼
º
GJJ
P
GHPHH
P
dxdydz
EE
z
xy
z
xy
z
y
z
x
z
y
)1(2
1
2

Страницы