Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10 11
Из равенства нулю одномерных интегралов в (9) получаем
естественные краевые условия:
при
axx ,0
0
x
N
или
0 U
;
0
xy
N
или
0 V
;
02
w
w
w
w
y
M
x
M
xy
x
или
0
W
;
0
x
M
или
0
w
w
x
W
; (11)1)
при
byy ,0
0
xy
N
или
0 U
;
0
y
N
или
0 V
;
02
w
w
w
w
x
M
y
M
xyy
или
0
W
;
0
y
M
или
0
w
w
y
W
. (12)
Вариационный принцип Лагранжа основан на необходимом усло-
вии экстремума функционала.
2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
ГАМИЛЬТОНА – ОСТРОГРАДСКОГО
Принцип стационарного действия Гамильтона – Остроградского
утверждает, что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движе-
ний системы материальных точек в действительности осуществляются
движения, дающие стационарное значение интегралу
³
37
1
0
)(
t
t
dtAJ
, (13)
где Т – кинетическая энергия системы; П – потенциальная энергия
системы; А – работа внешних сил.
Таким образом, приходим к необходимому условию минимума
функционала (13), а именно:
0 GJ
. (14)
Выведем уравнение движения жесткой пластинки (плиты) малого
прогиба, находящейся под действием поперечной нагрузки
),,( tyxq
.
Кинетическая энергия рассматриваемой пластинки будет иметь вид
,
2
1
00
2
³³
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
U 7
ab
dxdy
t
W
h
где
g
J
U
.
Потенциальную энергию можно записать в виде
³³
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ww
w
P 3
ab
dxdy
y
W
x
W
yx
W
W
D
00
2
2
2
2
2
2
22
)1(2)(
2
Работа внешней силы (поперечной нагрузки q)
³³
ab
dxdyqWA
00
.
Пусть выполняются краевые условия шарнирно-неподвижного зак-
репления края:
при
axx ,0
0
W
,
0
2
2
w
w
x
W
;
при
byy ,0
0
W
,
0
2
2
w
w
y
W
и однородные начальные условия по переменной t.
Для вывода уравнения движения найдем первую вариацию функ-
ционала (13) и приравняем ее к нулю.
Последовательно находим
,
00
1
0
2
2
1
0
³³³³
G
w
w
U 7G
ab
t
t
t
t
Wdxdydt
t
W
hdt
³³³³
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
ww
w
w
w
3G
ab
t
t
t
t
Wdxdydt
y
W
yx
W
x
W
Ddt
00
1
0
4
4
22
4
4
4
1
0
,
.
00
1
0
1
0
dxdydtWqAdt
ab
t
t
t
t
³³³³
G G
Следовательно,
³³ ³
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
ww
w
w
w
w
w
U
ab
t
t
Wdxdydtq
y
W
yx
W
x
W
D
t
W
h
00
1
0
4
4
22
4
4
4
2
2
.0
.

Страницы