Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
Подставив (19) в (18), интегрируя по частям два раза и учитывая
краевые условия (11), (12), сведем уравнение (18) к виду
)G
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
ww
Jw
w
Hw
w
Hw
³³
ab
yx
xyy
x
x
W
k
y
W
k
yx
xy
00
2
2
2
2
2
2
2
2
2
G
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
ww
w
G
w
w
G
w
w
xxyyx
M
x
W
M
yx
W
M
y
W
M
x
W
2
22
2
2
2
2
2
.02
2
2
2
»
¼
º
G
ww
w
G
w
w
dxdyM
yx
W
M
y
W
xyy
Отсюда получаем уравнения совместности деформаций (сплошно-
сти) в виде
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
w
w
w
w
ww
Jw
w
Hw
w
Hw
x
W
k
y
W
k
yx
xy
yx
xyy
x
. (20)
4. МЕТОД РИТЦА
Пусть дан функционал
)),(( yxuJJ
, (21)
определенный на некотором множестве
)(
J
D
вещественного гильбер-
това пространства
H
(результаты переносятся и на комплексное про-
странство). Необходимо найти минимум этого функционала на множе-
стве функций
),( yxu
, удовлетворяющих условию
),(
Г
yxu <
. (22)
Здесь
S
– область изменения переменных
,, yx
а Г – граница этойой
области, которая считается кусочно-гладкой.
Пусть
),(
*
yxu
– точное решение вариационной задачи, а
muJ )(
*
–
значение минимума функционала. Если удастся построить функцию
),( yxu
, для которой значение функционала (21) весьма близко к
m
,
то считается, что найдено достаточно хорошее приближение к истинному
решению задачи. Если же удается найти минимизирующую
последовательность
),( yxu
n
, т. е. последовательность функций, для
которых
muJ
n
o)(
, то эта последовательность будет сходиться к точному
решению
*
u
*
n
uu o
.
Немецким математиком В. Ритцем в 1908 г. было предложено при-
ближенное решение

y,xu
находить в виде семейства функций

,,...,,,,
21 n
cccyxu )
(23)
зависящих от нескольких параметров и удовлетворяющих условию (22).
Если подставить (23) в (21), то функционал
)(uJ
после выполнения
интегрирования будет функцией
n
переменных

n
cccJJ ,...,,
21
.
Ус ло в ия, при которых эта функция имеет минимум, принимают вид

.,...,2,10 nj
c
J
j
w
w
(24)
Решив систему уравнений (24), которую называют системой урав-
нений Ритца, находят значения параметров
.,...,,
21 n
ccc
Следовательно,
приближенное решение вариационной задачи (21), (22) имеет вид
 
.,...,,,,,
21 n
cccyxyxu )
Практически процесс нахождения этого приближенного решения
весьма прост, так как семейство (23) принимается линейно зависящим
от
n
ccc ,...,,
21
.
Итак, примем
  
¦
MM
n
i
iin
yxcyxyxu
1
0
,,,,
(25)
где

yx,
0
M
удовлетворяет на границе Г области
S
условию

yx,
Г
0
< M
, (26)

Страницы