Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12 13
Отсюда получаем уравнение движения пластинки
),,(
2
2
4
4
22
4
4
4
tyxq
t
W
h
y
W
yx
W
x
W
D
w
w
U
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
ww
w
w
w
. (15)
3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП КАСТИЛЬЯНО
Принцип возможных напряженных состояний формируется так:
если деформация системы согласуется со всеми внутренними и внешни-
ми связями, то сумма работ, производимых возможными изменениями
всех внешних и внутренних сил на действительных перемещениях тела,
равна нулю.
Математическая формулировка этого принципа имеет вид
.0
2
GGVH
³³³³³
S
vii
V
ijij
dspudV
(16)
Эта зависимость носит название вариационного уравнения Касти-
льяно.
Обозначим
,П
c
G GVH
³³³
V
ijij
dV
где
П
c
– так называемая дополнительная потенциальная энергия тела. Если
поведение материала тела подчиняется закону Гука, то
ПП
c
–
потенциальной энергии тела.
Напряженное состояние, вариации которого удовлетворяют урав-
нению (16), отличается от всех других статически возможных напряжен-
ных состояний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия
внутри и на поверхности тела, но и всем условиям сплошности (нераз-
рывности деформаций) по объему тела.
Таким образом, если принцип возможных перемещений позволяет
вывести уравнения
равновесия, то принцип возможных напряженных
состояний позволяет вывести все условия сплошности.
Получим уравнение совместности деформаций (уравнение сплош-
ности) для тонких оболочек малого прогиба, находящихся под действи-
ем поперечной нагрузки
q
, используя вариационное уравнение Кастиль-
яно (16), которое запишется в виде

³³³³ ³
GGWJGVHGVH
abab
h
h
xy
z
xyy
z
yx
z
x
dxdyqWdxdydz
0000
2
2
0
2
1
Используя соотношения
2
2
x
W
z
x
z
x
w
w
H H
,
2
2
y
W
z
y
z
y
w
w
H H
,
yx
W
z
xy
z
xy
ww
w
J J
2
2
и тот факт, что
³
V
2
2
h
h
xx
Ndz
,
³
V
2
2
h
h
xx
Mdzz
,
³
W
2
2
h
h
xyxy
Ndz
,
³
V
2
2
h
h
yy
Ndz
,
³
V
2
2
h
h
yy
Mdzz
,
³
W
2
2
h
h
xyxy
Mdzz
,
а также выражение
q
из третьего уравнения равновесия (10)
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ww
w
w
w
w
w
yx
M
y
M
x
M
NkNkq
xyy
x
yyxx
2
2
2
2
2
2
,
приведем вариационное уравнение (17) к виду
³³
«
¬
ª
GJG
w
w
GHG
w
w
GH
ab
xyxyyyyxxx
NM
y
W
NM
x
W
N
00
2
2
2
2
¨
¨
©
§
w
w
GGGG
ww
w
2
2
2
2
x
M
NkNkWM
yx
W
x
yyxxxy
.02
2
2
2
»
»
¼
º
¸
¸
¹
·
ww
w
G
w
w
G dxdy
yx
M
y
M
xyy
(18)
Введем функцию

yx,)
по правилу
2
2
y
N
x
w
)w
,
2
2
x
N
y
w
)w
,
yx
N
xy
ww
)w
2
. (19)
. (17)

Страницы