Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
а функции
i
M
– условиям
).,...,2,1(0
Г
ni
i
M
(27)
Последовательность функций
^`
yx
i
,M
должна удовлетворять сле-
дующим трем условиям:
1) все элементы

JD
i
M

HJD
;
2) при любом
n
элементы
n
MMM ,...
,
,
21
линейно независимы;
3) последовательность
^`
i
M
полна в
H
.
Функции
),( yx
i
M
называются аппроксимирующими или
координатными функциями.
Последнее условие состоит в следующем: каковы бы ни были
)(
J
Du
и
0!H
, можно найти такое натуральное число
N
и такие
постоянные
N
ccc ,...
,
,
21
, что выполняется неравенство
H
N
uu
*
, гдеде
N
u
имеет вид (25). Причем такие неравенства выполняются и для
производных до того порядка, каков порядок производных встречается
в
)(u
J
.
В общем случае краевые условия могут иметь более сложный вид,
чем в (22). Может быть задан на границе области S некоторый оператор
][uR
, в котором порядок производной искомой функции не должен пре-
вышать порядка производной от этой функции, встречающейся в функ-
ционале. Итак, краевые условия можно записать в виде
),(][
Г
yxuR <
.
Например, для функционала
³
c
)
b
a
dxuuxuJ ),,()(
краевые условия могут иметь вид
.)()(
,)()(
11
00
Bbubu
Aauau
c
ED
c
ED
Пары чисел
00
,ED
и
11
,ED
не должны одновременно равняться
нулю.
Используя метод Ритца, найти выражение для прогиба
),( y
x
W
же-
сткой пластинки при малых перемещениях, защемленной по контуру и
находящейся под действием равномерно распределенной поперечной
нагрузки
q
.
Эта задача равносильна задаче о минимуме функционала


³³
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ww
w
P
ab
y
W
x
W
yx
W
W
D
WJ
00
2
2
2
2
2
2
22
12
2
)(
dxdyW
D
q
»
¼
º
2
(28)
при краевых условиях
.0,0
ГГ
w
w
v
W
W
(29)
Здесь Г – граница области
S
, занимаемой пластинкой;
– внешняя
нормаль к границе Г.
Функционал (28) можно привести к виду

»
¼
º
«
¬
ª
³³
dxdyW
D
q
W
D
WJ
S
2
2
)(
2
2
.
2
)1(
Г
ds
y
W
ds
d
x
W
x
W
ds
d
y
WD
³
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
wP
(30)
Второе из условий (29) равносильно выполнению на контуре Г ус-
ловий
.
y
W
x
W
0
w
w
w
w
Это означает, что контурный интеграл в (30) обращается в нуль.
Итак, функционал, минимум которого нужно искать, принимает вид

.2
2
)(
2
2
dxdyW
D
q
W
D
WJ
S
³³
»
¼
º
«
¬
ª
(31)
Пусть пластинка занимает область
11 dd
x
,
11 dd y
. Решение
поставленной задачи будем искать методом Ритца в виде
,)1()1(
2222
11
yxcW
(32)

Страницы