Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L = T − U.
L(r,
˙
r, t) = e
λt
µ
m
˙
r
2
2
− U(r, t)
,
λ
∂L
∂
˙
r
= e
λt
m
˙
r ,
∂L
∂r
= −e
λt
∂U
∂r
.
d
dt
¡
e
λt
m
˙
r
¢
= −e
λt
∂U
∂r
.
e
λt
,
m
¨
r = −k
˙
r −
∂U
∂r
, k ≡ mλ .
m
F
p
= −∂U/∂r
F
d
= −k
˙
r .
L(r,
˙
r, t) =
m
˙
r
2
2
+
q
c
³
A(r, t),
˙
r
´
− qϕ(r, t) ,
A(r, t), ϕ(r, t) q
c
∂L
∂ ˙x
= m ˙x +
q
c
A
x
,
∂L
∂x
=
q
c
µ
∂A
x
∂x
˙x +
∂A
y
∂x
˙y +
∂A
z
∂x
˙z
− q
∂ϕ
∂x
y, z.
m¨x +
q
c
µ
∂A
x
∂x
˙x +
∂A
x
∂y
˙y +
∂A
x
∂z
˙z +
∂A
x
∂t
=
q
c
µ
∂A
x
∂x
˙x +
∂A
y
∂x
˙y +
∂A
z
∂x
˙z
− q
∂ϕ
∂x
,
m¨x = −
q
c
∂A
x
∂t
− q
∂ϕ
∂x
+
q
c
½·
∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y
¸
˙y +
·
∂A
z
∂x
−
∂A
x
∂z
¸
˙z
¾
.
  Ÿ4. Âêëþ÷åíèå äèññèïàòèâíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë

   Ïîñëå òîãî, êàê ìû ïðåäñòàâèëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ëàãðàíæåâîé ôîðìå äëÿ
ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè è èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè, åñòåñòâåííî ðàñøèðèòü êëàññ
äîïóñòèìûõ âçàèìîäåéñòâèé, ðàññìîòðåâ ôóíêöèè Ëàãðàíæà áîëåå îáùåãî âèäà, ÷åì
ïðîñòåéøèé L = T − U.
   Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñëåäóþùåãî âèäà
                                          µ                 ¶
                                       λt   mṙ 2
                        L(r, ṙ, t) = e           − U (r, t) ,              (21)
                                             2

ãäå λ åñòü íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé ïàðàìåòð. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Ìû èìååì

                            ∂L                      ∂L        ∂U
                                 = eλt mṙ ,           = −eλt    .
                            ∂ ṙ                    ∂r        ∂r
Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (16) äàåò

                                 d ¡ λt ¢        ∂U
                                    e mṙ = −eλt    .
                                 dt              ∂r
Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå è ñîêðàùàÿ íà eλt , ïîëó÷àåì

                                                ∂U
                            mr̈ = −k ṙ −          ,     k ≡ mλ .
                                                ∂r
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (21) îïèñûâàåò äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññû m ïîä
äåéñòâèåì ïîòåíöèàëüíîé ñèëû Fp = −∂U/∂r è ñèëû òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêî-
ðîñòè ÷àñòèöû, Fd = −k ṙ .
  Ðàññìîòðèì, äàëåå, ôóíêöèþ Ëàãðàíæà âèäà

                                  mṙ 2 q ³         ´
                    L(r, ṙ, t) =      + A(r, t), ṙ − qϕ(r, t) ,                 (22)
                                   2    c
ãäå A(r, t), ϕ(r, t)  çàäàííûå âåêòîðíàÿ è ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèè êîîðäèíàò è âðåìåíè, à q
è c ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû. ×ëåí, ëèíåéíûé ïî ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ôóíêöèè Ëàãðàíæà,
íàçûâàþò îáîáùåííûì ïîòåíöèàëîì.
   Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Ìû èìååì
                                           µ                         ¶
               ∂L           q       ∂L   q ∂Ax        ∂Ay      ∂Az        ∂ϕ
                    = mẋ + Ax ,       =         ẋ +     ẏ +     ż − q
               ∂ ẋ          c      ∂x   c ∂x          ∂x       ∂x        ∂x

è àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèÿ ïî ïåðåìåííûì y, z. Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (16) äàåò
          µ                               ¶    µ                        ¶
         q ∂Ax      ∂Ax      ∂Ax      ∂Ax     q ∂Ax      ∂Ay      ∂Az        ∂ϕ
   mẍ +       ẋ +     ẏ +     ż +       =       ẋ +     ẏ +     ż − q    , (23)
         c ∂x        ∂y       ∂z       ∂t     c ∂x        ∂x       ∂x        ∂x
èëè, ïåðåíîñÿ âñå ñèëû â ïðàâóþ ÷àñòü,
                                  ½·          ¸      ·          ¸ ¾
                   q ∂Ax    ∂ϕ q     ∂Ay ∂Ax           ∂Az ∂Ax
          mẍ = −        −q   +          −      ẏ +       −     ż .             (24)
                   c ∂t     ∂x c      ∂x   ∂y           ∂x   ∂z

                                               10

Страницы