Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

U = mgax
2
/2, g
L(x, ˙x, t) =
m
2
e
kt/m
©
(1 + a
2
x
2
) ˙x
2
− gax
2
ª
.
∂L
∂ ˙x
= me
kt/m
(1 + a
2
x
2
) ˙x ,
∂L
∂x
= me
kt/m
©
a
2
x ˙x
2
− gax
ª
.
e
kt/m
(1 + a
2
˙x
2
)(m¨x + k ˙x) + max(g + a ˙x
2
) = 0 .
φ,
p
φ
= ρ
2
˙
φ
p
φ
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè U = mgax2 /2, ãäå g  óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè. Ïîäñòàâ-
ëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (21), ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà â âèäå
                                  m          ©                 ª
                     L(x, ẋ, t) = ekt/m (1 + a2 x2 )ẋ2 − gax2 .             (28)
                                  2
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà. Èìååì
              ∂L                               ∂L         ©             ª
                   = mekt/m (1 + a2 x2 )ẋ ,      = mekt/m a2 xẋ2 − gax .
              ∂ ẋ                             ∂x
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (16), ïîëó÷àåì ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà ekt/m
                     (1 + a2 ẋ2 )(mẍ + k ẋ) + max(g + aẋ2 ) = 0 .


II.   ÇÀÊÎÍÛ ÑÎÕÐÀÍÅÍÈß. ÏÐÈÍÖÈÏ ÍÀÈÌÅÍÜØÅÃÎ ÄÅÉÑÒÂÈß

   Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ îáîáùåííûõ ýíåðãèè, èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà è èõ ñâÿçü
ñî ñâîéñòâàìè îäíîðîäíîñòè âðåìåíè è îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà.
Òåîðåìà Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ è âûðàæåíèå äëÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè. Ôóíê-
öèîíàë äåéñòâèÿ è ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà èç
ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: ïðèíöèï íàè-
ìåíüøåãî äåéñòâèÿ è àìïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû.


    ïðèìåðå 1 (ãëàâà I) ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à î äâèæåíèè òî÷êè â àêñèàëüíî-
ñèììåòðè÷íîì ïîëå. Ìû íàøëè, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå çàâèñèò ÿâíî
îò êîîðäèíàòû φ, çàäàþùåé óãîë ïîâîðîòà âîêðóã îñè ñèììåòðèè ïîëÿ, à èç óðàâíå-
íèÿ Ëàãðàíæà ïî ýòîé êîîðäèíàòå [ñì. óðàâíåíèå (20)] ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà pφ = ρ2 φ̇
îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû. Âîîáùå, ëþáàÿ êîìáèíàöèÿ îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé, ñîõðàíåíèå êîòîðîé ñëåäóåò èç óðàâíåíèé äâè-
æåíèÿ ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Êàê âèäíî, pφ ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì
èíòåãðàëîì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Ïîñêîëüêó äëÿ ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è
ìåõàíèêè òðåáóåòñÿ èíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ìåòîäû íàõîæäåíèÿ èíòåãðà-
ëîâ äâèæåíèÿ çàíèìàþò â íåé öåíòðàëüíîå ìåñòî.
   Âàæíåéøåé êàòåãîðèåé èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, ïîä êî-
òîðûìè ïîíèìàþò âåëè÷èíû, ïîñòîÿíñòâî êîòîðûõ ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè ïðî-
ñòðàíñòâà è âðåìåíè. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòîé ñèñòå-
ìû, ò.å. ñèñòåìû, íà êîòîðóþ íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðîèçâîëü-
íûõ ïåðåìåùåíèÿõ ñèñòåìû êàê öåëîãî â ïðîñòðàíñòâå (ò.å. ïåðåìåùåíèÿõ, ñîõðàíÿþ-
ùèõ âçàèìíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè ñèñòåìû). Ëþáîå òàêîå ïåðåìåùåíèå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ (òðàíñëÿöèé) ñèñòåìû â
íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè è åå ïîâîðîòîâ âîêðóã íåêîòîðîé îñè. Íåèçìåííîñòü ñâîéñòâ ñè-
ñòåì ïðè òàêèõ ÷àñòíîãî âèäà ïåðåìåùåíèÿõ íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îäíîðîäíîñòüþ
è èçîòðîïèåé ïðîñòðàíñòâà. Àíàëîãè÷íî, ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòûõ ñèñòåì
îêàçûâàþòñÿ îäíèìè è òåìè æå íåçàâèñèìî îò òîãî, íà êàêîì èíòåðâàëå âðåìåíè ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ èõ ýâîëþöèÿ. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò îäíîðîäíîñòüþ âðåìåíè.
   Ïîñêîëüêó ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì åå
ôóíêöèè Ëàãðàíæà, òî ýòè ñâîéñòâà áóäóò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûìè ïðè ëþáîì èç óêà-
çàííûõ ïåðåìåùåíèé â ïðîñòðàíñòâå èëè âî âðåìåíè, åñëè äàííîå ïåðåìåùåíèå íå ìå-
íÿåò ôóíêöèè Ëàãðàíæà ñèñòåìû.

                                           12

Страницы