Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

E
x
= −
1
c
∂A
x
∂t
−
∂ϕ
∂x
, E
y
= −
1
c
∂A
y
∂t
−
∂ϕ
∂y
, E
z
= −
1
c
∂A
z
∂t
−
∂ϕ
∂z
,
H
x
=
∂A
z
∂y
−
∂A
y
∂z
, H
y
=
∂A
x
∂z
−
∂A
z
∂x
, H
z
=
∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y
.
H = (H
x
, H
y
, H
z
)
∂/∂r A :
H = [∂/∂r, A] .
H A.
rot, H = rotA. ∂/∂r
E = (E
x
, E
y
, E
z
)
E = −
1
c
∂A
∂t
−
∂ϕ
∂r
.
m¨x = qE
x
+
q
c
[
˙
r, H]
x
,
[
˙
r, H]
x
= ˙yH
z
− ˙zH
y
. y, z
m
¨
r = qE +
q
c
[
˙
r, H] .
E H
c
m q A ϕ
m
k z
z =
ax
2
2
, y = 0 , a = const .
x
˙z = ax ˙x ,
˙
r
2
= ˙x
2
+ a
2
x
2
˙x
2
.
Ââåäåì òåïåðü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ
                     1 ∂Ax ∂ϕ                 1 ∂Ay ∂ϕ                     1 ∂Az ∂ϕ
            Ex = −        −    ,     Ey = −        −    ,         Ez = −        −    ,
                     c ∂t   ∂x                c ∂t   ∂y                    c ∂t   ∂z

                     ∂Az ∂Ay                ∂Ax ∂Az                     ∂Ay ∂Ax
             Hx =        −    ,     Hy =        −    ,           Hz =       −    .       (25)
                      ∂y   ∂z                ∂z   ∂x                     ∂x   ∂y
Îïðåäåëåíèå âåêòîðà H = (Hx , Hy , Hz ) íåòðóäíî çàïîìíèòü, åñëè ïðåäñòàâëÿòü åãî â
âèäå ôîðìàëüíîãî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà ∂/∂r ñ A :

                                       H = [∂/∂r, A] .

Âåêòîð H íàçûâàåòñÿ ðîòîðîì âåêòîðà A. Îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ðîòîðà äàííîãî âåêòîðà
îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî ñèìâîëîì rot, òàê ÷òî H = rotA. Ñ ïîìîùüþ âåêòîðà ∂/∂r
îïðåäåëåíèå âåêòîðà E = (Ex , Ey , Ez ) òàêæå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êîìïàêòíî êàê

                                              1 ∂A ∂ϕ
                                     E=−           −    .
                                              c ∂t   ∂r
  Âî ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ óðàâíåíèå (24) ïðèíèìàåò âèä
                                              q
                                   mẍ = qEx + [ṙ, H]x ,                                (26)
                                              c
ãäå [ṙ, H]x = ẏHz − żHy . Âìåñòå ñ àíàëîãè÷íûìè óðàâíåíèÿìè äëÿ êîîðäèíàò y, z
ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå îäíîãî âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ
                                             q
                                   mr̈ = qE + [ṙ, H] .                                  (27)
                                             c
Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèëó Ëîðåíöà, ïðè÷åì E è H ÿâëÿ-
þòñÿ íàïðÿæåííîñòÿìè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, ñîîòâåòñòâåííî, à c åñòü
ñêîðîñòü ñâåòà. Ìû âèäèì, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (22) îïèñûâàåò äâè-
æåíèå ÷àñòèöû ñ ìàññîé m è çàðÿäîì q â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Âåëè÷èíû A è ϕ
íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðíûì è ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëàìè ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ.

Ïðèìåð 2. Äâèæåíèå â ïîëå òÿæåñòè ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé ñ òðåíèåì. Ðàññìîòðèì äâè-
æåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m ïî ïàðàáîëå, ðàñïîëîæåííîé âåðòèêàëüíî â ïîëå
òÿæåñòè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äåéñòâóþùàÿ íà òî÷êó ñèëà òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà åå ñêî-
ðîñòè (êîýôôèöèåíò òðåíèÿ k ). Íàïðàâèì îñü z âåðòèêàëüíî ââåðõ, è ïóñòü óðàâíåíèåì
ïàðàáîëû áóäåò
                                ax2
                           z=       , y = 0 , a = const .
                                 2
Ïðèìåì x çà îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó òî÷êè. Ìû èìååì

                                           ż = axẋ ,

è ïîýòîìó
                                      ṙ 2 = ẋ2 + a2 x2 ẋ2 .

                                              11

Страницы