Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

δq
α
= Q
α
(q)², Q
α
(q) ²
q, t
δ
dq
α
dt
= δ
µ
lim
∆t→0
q
α
(t + ∆t) − q
α
(t)
∆t
= lim
∆t→0
(q
α
+ δq
α
)(t + ∆t) − (q
α
+ δq
α
)(t)
∆t
− lim
∆t→0
q
α
(t + ∆t) − q
α
(t)
∆t
= lim
∆t→0
δq
α
(t + ∆t) − δq
α
(t)
∆t
,
δ
dq
α
dt
=
d
dt
δq
α
,
δ ˙q
α
=
˙
Q
α
² .
δL =
s
X
α=1
½
∂L
∂q
α
δq
α
+
∂L
∂ ˙q
α
δ ˙q
α
¾
=
s
X
α=1
½
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
Q
α
² +
∂L
∂ ˙q
α
˙
Q
α
²
¾
,
δL = ²
d
dt
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
Q
α
.
δL = 0,
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
Q
α
= const .
L = L(r(q),
˙
r(q, ˙q), t),
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
Q
α
=
s
X
α=1
N
X
i=1
µ
∂L
∂
˙
r
i
,
∂
˙
r
i
∂ ˙q
α
Q
α
=
N
X
i=1
Ã
∂L
∂
˙
r
i
,
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
δq
α
²
!
,
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
Q
α
=
N
X
i=1
µ
∂L
∂
˙
r
i
,
δr
i
²
.
  Ÿ1. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà

   Ðàññìîòðèì ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà. Ïîëó÷èì
ñïåðâà îáùåå âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïðè ïåðåìåùåíèè ñèñòåìû
â ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó, à òàêæå íàëîæåííûå íà íåå ñâÿçè
òàêîâû, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìåíÿåòñÿ ïðè âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò âèäà
δqα = Qα (q)², ãäå Qα (q) åñòü íåêîòîðûå çàäàííûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, à ² 
ìàëûé ïîñòîÿííûé ïàðàìåòð (íåçàâèñÿùèé îò q, t). Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèå
îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé:
                    µ                           ¶
          dqα              qα (t + ∆t) − qα (t)
        δ      = δ lim
           dt         ∆t→0          ∆t
                        (qα + δqα )(t + ∆t) − (qα + δqα )(t)       qα (t + ∆t) − qα (t)
               = lim                                         − lim
                  ∆t→0                  ∆t                    ∆t→0         ∆t
                        δqα (t + ∆t) − δqα (t)
               = lim                           ,
                  ∆t→0            ∆t
ò.å.
                                       dqα  d
                                   δ       = δqα ,                                 (29)
                                        dt  dt
è ñëåäîâàòåëüíî, δ q̇α = Q̇α ² . Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, à òàêæå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
(16), âàðèàöèþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
                 X s ½                        ¾ X s ½                            ¾
                        ∂L          ∂L                d ∂L            ∂L
            δL =            δqα +        δ q̇α =               Qα ² +       Q̇α ² ,
                 α=1
                        ∂qα        ∂ q̇α         α=1
                                                      dt ∂ q̇α        ∂ q̇α
èëè
                                            s
                                       d X ∂L
                                δL = ²              Qα .                           (30)
                                       dt α=1 ∂ q̇α

Òàêèì îáðàçîì, èç óñëîâèÿ íåèçìåííîñòè ôóíêöèè Ëàãðàíæà, δL = 0, âûòåêàåò ñëåäó-
þùèé çàêîí ñîõðàíåíèÿ
                                 Xs
                                     ∂L
                                           Qα = const .                            (31)
                                 α=1
                                     ∂ q̇α

Åñëè âñïîìíèòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ ïîëó÷àåòñÿ èç
ôóíêöèè Ëàãðàíæà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ñîãëàñíî L = L(r(q), ṙ(q, q̇), t), òî, ïðè-
ìåíÿÿ ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, à òàêæå ñîîòíîøåíèå (13), ëå-
âóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (31) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
           s              s X N µ             ¶       N
                                                         Ã        s
                                                                             !
          X   ∂L         X        ∂L ∂ ṙi           X     ∂L     X  ∂ri δqα
                    Qα =               ,        Qα =            ,              ,
          α=1
              ∂ q̇α      α=1 i=1
                                  ∂ ṙi ∂ q̇α        i=1
                                                           ∂ ṙi α=1 ∂qα ²

èëè, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (8),
                           Xs             XN µ         ¶
                               ∂L              ∂L δri
                                     Qα =           ,    .                         (32)
                           α=1
                               ∂ q̇α      i=1
                                               ∂ ṙi ²

                                          13

Страницы