Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n.
n δr = ²
δr
i
= n².
Ã
N
X
i=1
∂L
∂
˙
r
i
, n
!
= const.
P =
N
X
i=1
p
i
, p
i
=
∂L
∂
˙
r
i
,
δϕ = ²
n
r. n r
β δr n, r,
|δr| = (|r|sin β)δϕ .
δϕ = nδϕ,
δϕ r : |δr| = |[δϕ, r]|.
[δϕ, r] δr,
δr = [δϕ, r] .
δϕ
δr
i
= [δϕ, r
i
], i = 1, ..., N.
                            Ðèñ. 1: Ê âûâîäó ôîðìóëû (34).


Ðàññìîòðèì òåïåðü îòäåëüíî òðàíñëÿöèè è ïîâîðîòû ñèñòåìû. Ïóñòü âíåøíèå ïîëÿ è
ñâÿçè, íàëîæåííûå íà ñèñòåìó, íå íàðóøàþò îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà â íàïðàâëå-
íèè, îïðåäåëÿåìîì åäèíè÷íûì âåêòîðîì n. Ïðè òðàíñëÿöèè ñèñòåìû â íàïðàâëåíèè
âåêòîðà n íà ðàññòîÿíèå δr = ² ðàäèóñ-âåêòîðû âñåõ ÷àñòèö ñèñòåìû ïîëó÷àþò îäíî è
òî æå ïðèðàùåíèå δri = n². Ïî ôîðìóëàì (31), (32) íàõîäèì çàêîí ñîõðàíåíèÿ
                                Ã N            !
                                  X ∂L
                                            , n = const.                     (33)
                                  i=1
                                      ∂ ṙi

Ìû âèäèì, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñëåäñòâèåì îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà ïî íåêîòîðîìó
íàïðàâëåíèþ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè íà ýòî íàïðàâëåíèå âåêòîðà
                                     N
                                     X                   ∂L
                               P =         pi ,   pi =         ,
                                     i=1
                                                         ∂ ṙi

íàçûâàåìîãî èìïóëüñîì ñèñòåìû. Îòíîñèòåëüíî çàìêíóòîé ñèñòåìû ïðîñòðàíñòâî îä-
íîðîäíî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, è ïîýòîìó èìïóëüñ òàêîé ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ.
   Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîâîðîò ñèñòåìû êàê öåëîãî íà óãîë δϕ = ² îòíîñèòåëüíî íåêî-
òîðîé îñè, íàïðàâëåíèå êîòîðîé çàäàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì n ïî ïðàâèëó ïðàâîãî
âèíòà. Âûáåðåì íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ãäå-íèáóäü íà îñè ïîâîðîòà è îïðåäåëèì,
êàê ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîð r. Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó âåêòîðàìè n è r ÷åðåç
β (ñì. Ðèñ. 1). Âåêòîð δr îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåêòîðû n, r, à åãî
âåëè÷èíà
                                  |δr| = (|r| sin β)δϕ .
Åñëè ââåñòè âåêòîð δϕ = nδϕ, òî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ìîäóëü âåê-
òîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ δϕ è r : |δr| = |[δϕ, r]|. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàïðàâëåíèå
âåêòîðà [δϕ, r] ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì δr, ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî âåêòîðíîå ðàâåíñòâî

                                      δr = [δϕ, r] .                               (34)

  Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîâîðîòå ñèñòåìû íà óãîë δϕ ðàäèóñ-âåêòîðû ÷àñòèö ñèñòåìû
ïîëó÷àþò ïðèðàùåíèå δri = [δϕ, ri ], i = 1, ..., N. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (32) è öèêëè÷åñêè

                                            14

Страницы