Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∂L
∂ ˙ϕ
= (M , n) .
q
α
q
α
→ q
α
+ ²,
q
β
β 6= α.
q
α
0 = δL =
∂L
∂q
α
δq
α
+
∂L
∂ ˙q
α
δ ˙q
α
=
∂L
∂q
α
²,
q
α
∂L
∂q
α
= 0.
p
q
α
= ∂L/∂ ˙q
α
,
p
q
α
= const .
p
q
α
φ φ
z :
∂L
∂
˙
φ
= mρ
2
˙
φ = const.
∂L
∂t
= 0 .
dL
dt
=
s
X
α=1
½
∂L
∂q
α
˙q
α
+
∂L
∂ ˙q
α
¨q
α
¾
=
s
X
α=1
½
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
˙q
α
+
∂L
∂ ˙q
α
¨q
α
¾
=
s
X
α=1
d
dt
½
∂L
∂ ˙q
α
˙q
α
¾
,
d
dt
(
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
˙q
α
− L
)
= 0 .
â ñèëó òîæäåñòâà (32) ñîâïàäàåò ñ âåëè÷èíîé ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû íà
ýòó îñü:
                                        ∂L
                                             = (M , n) .                                  (40)
                                        ∂ ϕ̇
Êàê ìû âèäèì, â äàííîé ôîðìóëèðîâêå îáà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì
òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñäâèãàõ êàêîé-ëèáî îáîáùåííîé êîîð-
äèíàòû qα íà ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó, qα → qα + ², ïðè ôèêñèðîâàííûõ
îñòàëüíûõ qβ ñ β 6= α. Òàêèå îáîáùåííûå êîîðäèíàòû íàçûâàþò öèêëè÷åñêèìè. Åñëè
êîîðäèíàòà qα öèêëè÷åñêàÿ, òî ïðè îïèñàííîì ñäâèãå
                                           ∂L        ∂L            ∂L
                            0 = δL =           δqα +       δ q̇α =     ²,
                                           ∂qα       ∂ q̇α         ∂qα
òàê ÷òî êðèòåðèåì öèêëè÷íîñòè êîîðäèíàòû qα ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå
                                               ∂L
                                                   = 0.
                                               ∂qα
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé êîîðäèíàòå âåëè÷èíà pqα = ∂L/∂ q̇α , íàçûâàåìàÿ îáîáùåííûì
èìïóëüñîì, ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû:

                                             pqα = const .

Òî, ÷òî pqα ñîõðàíÿåòñÿ, âèäíî òàêæå íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà (16).

Ïðèìåð 3.     ïðèìåðå 1 (ãëàâà I) ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (19) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íå
çàâèñèò îò óãëîâîé ïåðåìåííîé φ (φ  öèêëè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà). Ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ
ïðîåêöèÿ åå ìîìåíòà èìïóëüñà íà îñü z :
                                       ∂L
                                            = mρ2 φ̇ = const.
                                       ∂ φ̇

   Ÿ2. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè

  Ïåðåéäåì ê âûÿñíåíèþ ñëåäñòâèé îäíîðîäíîñòè âðåìåíè. Â ñèëó ýòîé îäíîðîäíîñòè
ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìîæåò çàâèñåòü îò âðåìåíè ÿâíî, ò.å. äîëæíî áûòü
                                               ∂L
                                                  = 0.
                                               ∂t
Âû÷èñëèì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî âðåìåíè, ó÷èòûâàÿ ýòî óñëîâèå,
à òàêæå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (16)
             s ½                      ¾ X s ½                           ¾ X s     ½          ¾
      dL X ∂L               ∂L                d ∂L            ∂L               d ∂L
         =            q̇α +        q̈α =                q̇α +        q̈α =                q̇α ,
      dt    α=1
                 ∂q α       ∂ q̇ α       α=1
                                              dt ∂ q̇ α       ∂ q̇ α       α=1
                                                                               dt   ∂ q̇α

èëè                                    (                    )
                                           Xs
                                  d            ∂L
                                                     q̇α − L = 0 .
                                  dt       α=1
                                               ∂ q̇α

                                                 16

Страницы