Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

E =
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
˙q
α
− L ,
L = T + V −U, V
f(x
1
, ..., x
n
)
f(ax
1
, ..., ax
s
) = a
d
f(x
1
, ..., x
s
),
a d
f(x
1
, ..., x
s
) d
a
a = 1,
s
X
α=1
x
α
∂
∂x
α
f(x
1
, ..., x
s
) = d f(x
1
, ..., x
s
),
x
α
˙q
α
.
˙
r
˙q
α
T
V
U
U
s
X
α=1
˙q
α
∂T
∂ ˙q
α
= 2T ,
s
X
α=1
˙q
α
∂V
∂ ˙q
α
= V ,
s
X
α=1
˙q
α
∂U
∂ ˙q
α
= 0 .
E = T + U .
E =
m
˙
r
2
2
+ qϕ(r, t) .
A, ϕ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà
                                           Xs
                                               ∂L
                                        E=           q̇α − L ,                                 (41)
                                           α=1
                                               ∂ q̇α

íàçûâàåìàÿ îáîáùåííîé ýíåðãèåé, ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû. Ýòî åñòü íàè-
áîëåå îáùåå âûðàæåíèå äëÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè, ïðèìåíèìîå ê ôóíêöèè Ëàãðàíæà
ïðîèçâîëüíîãî âèäà. Ïðèìåíèì åãî ê ñëó÷àþ êîãäà ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèä
L = T + V − U, ãäå V îáîçíà÷àåò ÷ëåíû, ëèíåéíûå ïî ñêîðîñòÿì ÷àñòèö (ñì. I Ÿ4). Äëÿ
ýòîãî ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ. Ïóñòü
ôóíêöèÿ f (x1 , ..., xn ) äèôôåðåíöèðóåìà è òàêîâà, ÷òî

                                f (ax1 , ..., axs ) = ad f (x1 , ..., xs ),                    (42)

ãäå a ïðîèçâîëüíîå, à d  íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèÿ f (x1 , ..., xs ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ, à ÷èñëî d íàçû-
âàþò ñòåïåíüþ îäíîðîäíîñòè. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ îïðåäåëåíèå (42) ïî a è ïîëîæèâ
çàòåì a = 1, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
                         s
                         X            ∂
                                xα       f (x1 , ..., xs ) = d f (x1 , ..., xs ),              (43)
                          α=1
                                     ∂xα

êîòîðîå è ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Ýéëåðà. Ïðè ïðèìåíåíèè ýòîé òåîðåìû ê
âûðàæåíèþ (41) ïåðåìåííûìè xα ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå ñêîðîñòè q̇α . Ïîñêîëüêó ñî-
ãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (13) äåêàðòîâû ñêîðîñòè ṙ ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè ôóíêöèÿìè
îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé q̇α ïåðâîé ñòåïåíè, òî ïðè èõ ïîäñòàíîâêå â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
ìû ïîëó÷èì, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé îáîáùåííûõ
ñêîðîñòåé âòîðîé ñòåïåíè, îáîáùåííûé ïîòåíöèàë V  îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ïåðâîé
ñòåïåíè, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U  îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîé ñòåïåíè, ïîñêîëü-
êó U îò ñêîðîñòåé âîîáùå íå çàâèñèò. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ýéëåðà, ìû ïîëó÷èì
                 s
                 X                          s
                                            X                         s
                                                                      X
                         ∂T                          ∂V                           ∂U
                     q̇α        = 2T ,           q̇α        =V ,            q̇α         = 0.
                 α=1
                         ∂ q̇ α              α=1
                                                     ∂ q̇ α           α=1
                                                                                  ∂ q̇α

Ïîäñòàíîâêà â (41) äàåò

                                              E =T +U.                                         (44)

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü îáîáùåííóþ ýíåðãèþ, â ôóíêöèè Ëàãðàíæà
ñëåäóåò îïóñòèòü ÷ëåíû, ëèíåéíûå ïî îáîáùåííûì ñêîðîñòÿì è ïîìåíÿòü çíàê ïåðåä
÷ëåíàìè, îò íèõ íå çàâèñÿùèìè.

Ïðèìåð 4.   Ïðèìåíÿÿ ñôîðìóëèðîâàííîå ïðàâèëî, ïîëó÷àåì îáîáùåííóþ ýíåðãèþ,
ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà (22) äëÿ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå

                                               mṙ 2
                                        E=           + qϕ(r, t) .                              (45)
                                                2
Îíà ñîõðàíÿåòñÿ, åñëè ïîòåíöèàëû A, ϕ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè ÿâíî.

                                                    17

Страницы