Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

s
L(q, ˙q, t), t
1
, t
2
t
1
< t
2
q
α
(t), α = 1, ..., s
q
α
(t
1
) = q
(1)
α
, q
α
(t
2
) = q
(2)
α
, α = 1, ..., s ,
q
(1)
q
(2)
t
1
t
2
,
q(t)
S[q(t)] =
t
2
Z
t
1
L(q(t), ˙q(t), t)dt .
q(t) S[q(t)].
S[q(t)]
´o t ∈ [t
1
, t
2
]
¯q(t)
q(t) = ¯q(t) + δq(t), δq(t)
¯q(t) ¯q(t) + δq(t) δq(t)
Ðèñ. 2: Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è îäíîé èç
áëèçêèõ ê íåé âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ).


Ïðèìåð 5.   Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (28) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïîä äåéñòâèåì
ñèëû òðåíèÿ, ÿâíî çàâèñèò îò âðåìåíè, ïîýòîìó åå îáîáùåííàÿ ýíåðãèÿ íå ñîõðàíÿåòñÿ.


  Ÿ3. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ

    Ïóñòü äâèæåíèå äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû îïðåäåëÿ-
åòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L(q, q̇, t), t1 , t2  íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè (t1 < t2 ), è
qα (t), α = 1, ..., s  íàáîð äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé âðåìåíè, óäîâëåòâîðÿ-
þùèõ óñëîâèÿì

                     qα (t1 ) = qα(1) ,   qα (t2 ) = qα(2) ,    α = 1, ..., s ,    (46)

ãäå q (1) è q (2)  çàäàííûå çíà÷åíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû â ìîìåíòû âðåìåíè
t1 è t2 , ñîîòâåòñòâåííî. Ëþáîé òàêîé íàáîð íàçîâåì âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìû.
Ñðåäè ìíîæåñòâà âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé èìååòñÿ îäíà òðàåêòîðèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ
óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà, êîòîðóþ ìû íàçîâåì äåéñòâèòåëüíîé.
    Äëÿ äàííîé âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè q(t) ïîñòðîèì èíòåãðàë

                                           Zt2
                              S[q(t)] =          L(q(t), q̇(t), t)dt .             (47)
                                           t1


Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó íàáîðó ôóíêöèé q(t) ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÷èñëî S[q(t)]. Òàêèå îáú-
åêòû, ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè îò ôóíêöèé, íàçûâàþò ôóíêöèîíàëàìè. Ôóíêöèîíàë
S[q(t)] íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì ñèñòåìû.
   Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (16) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ñëåäóþùåãî
âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà, íàçûâàåìîãî ïðèíöèïîì íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ: Íà ëþáîì
âðåìåííóì îòðåçêå t ∈ [t1 , t2 ] ñèñòåìà äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî åå äåéñòâèå
ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå, ïðè÷åì ñðàâíèâàþòñÿ âñå âèðòóàëüíûå
òðàåêòîðèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (46).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç q̄(t) âèðòóàëüíóþ òðàåêòîðèþ, íà êîòîðîé äåé-
ñòâèå ñèñòåìû ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, è ðàññìîòðèì áëèçêèå ê íåé òðàåêòî-
ðèè q(t) = q̄(t) + δq(t), ãäå δq(t)  ìàëûå ôóíêöèè âðåìåíè (ñì. Ðèñ. 2). Ïðè ïåðåõîäå
îò q̄(t) ê q̄(t) + δq(t) äåéñòâèå âîçðàñòàåò. Â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàëûì δq(t) èçìåíåíèå


                                                  18

Страницы