Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ψ(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) = C
X
q(t)
exp
½
i
~
S[q(t)]
¾
,
~ = 1, 055 · 10
−27
·
2
C
Ψ
Ψ(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
)
|Ψ|
2
,
q
(2)
t
2
, t
1
q
(1)
.
q
(1)
q
(2)
S[q(t)]
S
S À ~ .
δq
S[q(t)]
¯q(t) :
S[¯q(t) + δq(t)] ≈ S[¯q(t)] ,
  Ÿ4. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ è àì-
ïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû

    ðàìêàõ ñàìîé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè äåéñòâèå íå èìååò êàêîãî-ëèáî íàãëÿä-
íîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà.  äåéñòâèòåëüíîñòè, îäíàêî, ýòîò îáúåêò èãðàåò â ôèçèêå
ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.  ÷àñòíîñòè, ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ âîçíèêàåò åñòå-
ñòâåííûì îáðàçîì ïðè ðàññìîòðåíèè êëàññè÷åñêèõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ òî÷êè çðåíèÿ
êâàíòîâîé ôèçèêè.
   Ðàññìîòðèì ñíîâà ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé è ñîñòàâèì ñëåäóþùóþ âå-
ëè÷èíó
                                            X     ½          ¾
                       (1)      (2)                 i
                    Ψ(q , t1 ; q , t2 ) = C   exp     S[q(t)] ,               (51)
                                                    ~
                                              q(t)

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì âèðòóàëüíûì òðàåêòîðèÿì, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëî-
âèÿì (46), ~ = 1, 055 · 10−27 ã·ñì2 /ñ åñòü òàê íàçûâàåìàÿ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, à C 
íîðìèðîâî÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ.  êà÷åñòâå àðãóìåíòîâ ââåäåííîé ôóíêöèè Ψ óêàçàíû ïà-
ðàìåòðû, çàäàþùèå ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíè-
åì, äàííûì â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Êîíå÷íî, ïîñêîëüêó ñêîëü óãîäíî ìàëàÿ äåôîðìàöèÿ
äàííîé âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè ïåðåâîäèò åå â äðóãóþ âèðòóàëüíóþ òðàåêòîðèþ, òî
äëÿ ïðèäàíèÿ ðåàëüíîãî ñìûñëà âûðàæåíèþ (51) òðåáóåòñÿ óêàçàòü, êàê èìåííî âû-
÷èñëÿåòñÿ ñóììà ïî òðàåêòîðèÿì, ò.å. çàäàòü ïëîòíîñòü òðàåêòîðèé â êàæäîì ó÷àñò-
êå ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî ïîñêîëüêó â äàëüíåéøåì ýòè äåòàëè íàì íå ïîíàäîáÿòñÿ, ìû
ëèøü óêàæåì, ÷òî ýòó ïëîòíîñòü ñëåäóåò ñ÷èòàòü îäèíàêîâîé âî âñåõ òî÷êàõ ïðî-
ñòðàíñòâà è íåçàâèñÿùåé îò âðåìåíè.
   Ôóíêöèÿ Ψ(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ïåðåõîäà è èãðàåò öåíòðàëüíóþ
ðîëü â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Êâàäðàò åå ìîäóëÿ, |Ψ|2 , îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü íàéòè
ñèñòåìó â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè q (2) â ìîìåíò âðåìåíè t2 , åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t1 îíà
íàõîäèëàñü â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè q (1) . Âûðàæåíèå (51) ïîêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäà
ïåðåõîäà èç q (1) â q (2) ñêëàäûâàåòñÿ èç ýëåìåíòàðíûõ àìïëèòóä, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñî-
îòâåòñòâóåò ïåðåõîäó ïî êàêîé-ëèáî âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè.
   Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî äåéñòâèå S[q(t)] ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé êâàçèêëàññè÷å-
ñêîé ñèñòåìå, ò.å. ñèñòåìå, äâèæåíèå êîòîðîé õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ìåõàíèêîé Íüþòîíà,
íàïðèìåð, ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó. Äëÿ òàêîé ñèñòåìû âåëè÷èíà S íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ïðå-
âîñõîäèò ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà,

                                        S À ~.                                       (52)

Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñïîíåíòà, ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì ñóììû â (51), èìååò áîëüøîé ïî ìî-
äóëþ ìíèìûé ïîêàçàòåëü. Ïîýòîìó óæå ñðàâíèòåëüíî ìàëàÿ âàðèàöèÿ òðàåêòîðèè δq
ïðèâîäèò ê áîëüøîìó èçìåíåíèþ ïîêàçàòåëÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýêñïîíåíòà ÿâëÿåòñÿ
áûñòðî îñöèëëèðóþùåé ôóíêöèåé òðàåêòîðèè. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè ñóììèðî-
âàíèè âêëàäû ñîñåäíèõ òðàåêòîðèé ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþò äðóã äðó-
ãà, àíàëîãè÷íî òîìó êàê èíòåãðàë îò ñèíóñà äàåò òåì ìåíüøåå çíà÷åíèå, ÷åì áûñòðåå
ñèíóñ îñöèëëèðóåò. Òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå âêëàäû ñîñåäíèõ òðàåêòîðèé íå áóäóò êîì-
ïåíñèðîâàòü äðóã äðóãà, à èìåííî â òîì, êîãäà äåéñòâèå S[q(t)] ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ â
îêðåñòíîñòè êàêîé-ëèáî òðàåêòîðèè q̄(t) :

                                S[q̄(t) + δq(t)] ≈ S[q̄(t)] ,

                                           20

Страницы