Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S[¯q(t) + δq(t)] − S[¯q(t)] ≡ δS ≈ 0 .
Ψ(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) ≈ a exp
½
i
~
S[¯q(t)]
¾
,
a. S/~ → ∞
¯q(t),
s. N
s = 3N −n, n
q
α
, α = 1, ..., s
r
i
= r
i
(q), i = 1, ..., N.
r
i
(q)
r
i
(q)
L(r(q),
˙
r(q, ˙q), t).
ò.å.

                           S[q̄(t) + δq(t)] − S[q̄(t)] ≡ δS ≈ 0 .                (53)

 ýòîì ñëó÷àå âêëàäû ñîñåäíèõ òðàåêòîðèé áóäóò ñêëàäûâàòüñÿ, òàê ÷òî âñÿ ñóììà â
âûðàæåíèè (51) ñâåäåòñÿ ê îäíîìó ÷ëåíó:
                                                  ½           ¾
                          (1)     (2)               i
                      Ψ(q , t1 ; q , t2 ) ≈ a exp     S[q̄(t)] ,            (54)
                                                    ~

ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé a. Â ïðåäåëå S/~ → ∞ ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà â ïðèâåäåí-
íûõ âûøå ñîîòíîøåíèÿõ çàìåíÿþòñÿ òî÷íûìè, â ÷àñòíîñòè, óñëîâèå (53) ïåðåõîäèò â
óðàâíåíèå (50). Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû ýô-
ôåêòèâíî âûãëÿäèò òàê, êàê åñëè áû ýòà ñèñòåìà äâèãàëàñü ëèøü ïî îäíîé òðàåêòîðèè
q̄(t), îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà.


III. ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß

   Îáùèé âèä ôóíêöèè Ëàãðàíæà îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è â ïî-
ñòîÿííîì ïîòåíöèàëå. Òèïû îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Ïåðèîä ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê. Çàäà÷à äâóõ òåë. Ñâåäåíèå ê îäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷å, è îá-
ùåå ðåøåíèå çàäà÷è â êâàäðàòóðàõ. Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë. Êóëîíîâî ïîëå. Êëàñ-
ñèôèêàöèÿ âîçìîæíûõ òèïîâ äâèæåíèÿ â êóëîíîâîì ïîëå. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè.
Çàêîíû Êåïëåðà. Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ. Ôîðìóëà Ðå-
çåðôîðäà.
   Ïåðåõîäÿ ê ïðèëîæåíèÿì ôîðìàëèçìà Ëàãðàíæà ê èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâè-
æåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì, ñôîðìóëèðóåì ñïåðâà îáùèé àëãîðèòì ïðèìåíåíèÿ ýòîãî
ôîðìàëèçìà:

  A. Îïðåäåëèòå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû, s. Äëÿ ñèñòåìû N ìàòåðèàëüíûõ
       òî÷åê s = 3N − n, ãäå n  ÷èñëî ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà ñèñòåìó.

  B. Âûáåðèòå îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ñèñòåìû, qα , α = 1, ..., s è âûðàçèòå ÷åðåç íèõ
       äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷åê ñèñòåìû, ri = ri (q), i = 1, ..., N. Îáîáùåííûå êî-
       îðäèíàòû äîëæíû ðåøàòü óðàâíåíèÿ ñâÿçåé, ò.å. âûðàæåíèÿ ri (q) äîëæíû òîæ-
       äåñòâåííî óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì (5). Êðîìå òîãî, ýòè êîîðäèíàòû ñëåäóåò
       âûáèðàòü òàê ÷òîáû ïî âîçìîæíîñòè ìàêñèìàëüíî ïîëíî ó÷åñòü ñèììåòðèè ïî-
       òåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèé ÷àñòèö.

  C. Âû÷èñëèòå ïîëíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò ôóíêöèé ri (q) è çàòåì ñîñòàâüòå
       ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû L(r(q), ṙ(q, q̇), t).

  D. Èññëåäóéòå ñèñòåìó íà íàëè÷èå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Åñëè âíåøíèå ñèëû, äåé-
       ñòâóþùèå íà ñèñòåìó, íå ìåíÿþòñÿ ïðè òðàíñëÿöèè â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè èëè
       ïîâîðîòå âîêðóã íåêîòîðîé îñè, ïðè÷åì ñâÿçè, íàëîæåííûå íà ñèñòåìó, äîïóñêà-
       þò òàêîå ïåðåìåùåíèå, çàïèøèòå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîåêöèé
       èìïóëüñà èëè ìîìåíòà èìïóëüñà [ñì. óðàâíåíèÿ (33), (36)]. Åñëè îáîáùåííûå êî-
       îðäèíàòû âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî èçìåíåíèå êàêîé-ëèáî èç íèõ ïðè ôèê-
       ñèðîâàííûõ îñòàëüíûõ îïèñûâàåò óêàçàííîå ïåðåìåùåíèå, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ

                                            21

Страницы