Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

s q ˙q.
s,
s
q, ˙q, ¨q
˙
r
i
=
∂r
i
∂q
˙q , i = 1, ..., N ,
L = T − U,
L =
N
X
i=1
m
i
2
µ
∂r
i
∂q
,
∂r
i
∂q
˙q
2
− U(r(q), t) ≡
m(q) ˙q
2
2
− U(q, t) .
U(r(q), t) U(q, t).
m(q) > 0.
∂L/∂t = 0,
E =
m(q) ˙q
2
2
+ U(q) .
q(t)
dq
dt
= ±
s
2
m(q)
[E − U(q)] ,
dt =
r
m(q)
2
dq
±
p
E − U(q)
.
t − t
0
=
q
Z
q
0
r
m(q)
2
dq
±
p
E − U(q)
,
     ñîõðàíÿþùóþñÿ âåëè÷èíó ìîæíî ïîëó÷èòü ïî ôîðìóëàì (38), (40). Íàêîíåö, åñ-
     ëè ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ñîñòàâüòå çàêîí ñîõðàíåíèÿ
     îáîáùåííîé ýíåðãèè [ñì. ôîðìóëó (41)].
  E. Èç ïîëó÷èâøèõñÿ óðàâíåíèé âûáåðèòå íåçàâèñèìûå. Åñëè èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëó
     ñòåïåíåé ñâîáîäû, òî íåîáõîäèìîñòè â ïîñòðîåíèè óðàâíåíèé Ëàãðàíæà íåò, è ñëå-
     äóåò ïåðåõîäèòü ê èíòåãðèðîâàíèþ íàéäåííûõ s óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ q è q̇.
     Åñëè æå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìåíüøå s, ñëåäóåò âûïèñàòü íåäî-
     ñòàþùåå ÷èñëî óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òàê ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòü ñèñòåìó s
     íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ âåëè÷èíû q, q̇, q̈ è çàòåì åå èíòåãðèðîâàòü.


  Ÿ1. Äâèæåíèå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû

   Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ
(11) èìåþò âèä
                                        ∂ri
                                ṙi =       q̇ ,    i = 1, ..., N ,              (55)
                                        ∂q
ïîäñòàâëÿÿ êîòîðûå â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T − U, ïîëó÷èì
                X N    µ        ¶
                     mi ∂ri ∂ri                        m(q)q̇ 2
             L=            ,      q̇ 2 − U (r(q), t) ≡          − U (q, t) .     (56)
                 i=1
                     2   ∂q ∂q                           2

Äëÿ êðàòêîñòè, ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ U (r(q), t) îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî U (q, t). Çàìåòèì, ÷òî
ôóíêöèÿ m(q) > 0. Çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà òàêîãî
âèäà, ìîæåò áûòü íàéäåí â îáùåì âèäå â ñëó÷àå, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå çàâè-
ñèò ÿâíî îò âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ∂L/∂t = 0, è ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû
[ñì. óðàâíåíèå (44)]
                                           m(q)q̇ 2
                                  E=                + U (q) .                    (57)
                                             2
Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî îòíîñèòåëüíî q(t) ïóòåì ðàçäåëåíèÿ äèôôåðåíöèà-
ëîâ. Ìû èìååì
                                 s
                           dq        2
                              =±        [E − U (q)] ,                      (58)
                           dt      m(q)
îòêóäà
                                                r
                                        m(q)
                                             dq
                                  dt = p 2        .
                                      ± E − U (q)
Èíòåãðèðîâàíèå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà äàåò
                                        r
                                    Zq    m(q)
                                               dq
                           t − t0 =     p 2        ,                             (59)
                                       ± E − U (q)
                                           q0


                                                   22

Страницы