Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

q
0
,
q q ∈ [q
1
, q
2
].
t
0
q(t
0
) = q
0
∈ (q
1
, q
2
)
˙q(t
0
) > 0. q
2
q
2
q
1
, q
0
q
1
t = t
0
q
0
,
q, |˙q(t
0
)| = |˙q(t
0
)|, ˙q
t
0
t
0
˙q(t
0
) = ˙q(t
0
).
t
0
t
0
t
0
− t
0
≡ T =
q
2
Z
q
0
r
m(q)
2
dq
p
E − U(q)
+
q
1
Z
q
2
r
m(q)
2
dq
−
p
E − U(q)
+
q
0
Z
q
1
r
m(q)
2
dq
p
E − U(q)
,
T =
q
2
Z
q
1
p
2m(q) dq
p
E − U(q)
.
T q
0
.
q ∈ [q
1
, q
2
], t,
q(t) = q(t + T ) , ˙q(t) = ˙q(t + T ) .
q, ˙q,
r
i
(t) = r
i
(t + T ) ,
˙
r
i
(t) =
˙
r
i
(t + T ) , i = 1, ..., N .
T
q
m(q) = m
E = E
2
q ∈ [q
1
, q
2
]. q
0
> q
3
,
˙q(t
0
) < 0,
∆t =
q
0
Z
q
3
r
m(q)
2
dq
p
E − U(q)
,
òî íåäîñòèæèìîé äëÿ ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü ñëåâà îò q 0 , è â ýòîé òî÷êå îáîáùåííàÿ
ñêîðîñòü ïåðåõîäèò îò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ê ïîëîæèòåëüíûì.
    Åñëè äâèæåíèå ñèñòåìû òàêîâî, ÷òî âñå ñîñòàâëÿþùèå åå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè âñå
âðåìÿ îñòàþòñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, òî òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ
ôèíèòíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ èíôèíèòíûì. Ïðè ôèíèòíîì
äâèæåíèè îáëàñòü èçìåíåíèÿ q îãðàíè÷åíà äâóìÿ òî÷êàìè ïîâîðîòà: q ∈ [q1 , q2 ]. Ïóñòü â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 ñèñòåìà íà÷èíàåò äâèæåíèå èç òî÷êè q(t0 ) = q0 ∈ (q1 , q2 )
ñ q̇(t0 ) > 0. Ïî äîñòèæåíèè òî÷êè q2 îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü èçìåíèò çíàê, è ñèñòåìà
áóäåò äâèãàòüñÿ îò q2 ê q1 , ïðîéäÿ ïðè ýòîì òî÷êó q0 ñ îòðèöàòåëüíîé ñêîðîñòüþ. Â
òî÷êå q1 ñêîðîñòü ñíîâà èçìåíèò çíàê íà ïîëîæèòåëüíûé, è â íåêîòîðûé ìîìåíò âðå-
ìåíè t = t0 ñèñòåìà îêàæåòñÿ â òî÷êå q0 , èìåÿ ïîëîæèòåëüíóþ ñêîðîñòü â ýòîé òî÷êå.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (58) àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà îáîáùåííîé ñêîðîñòè îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì q, ïîýòîìó |q̇(t0 )| = |q̇(t0 )|, à êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè, çíàêè q̇ â
ìîìåíòû âðåìåíè t0 è t0 òàêæå îäèíàêîâû, è ïîòîìó q̇(t0 ) = q̇(t0 ). Äðóãèìè ñëîâàìè,
â ìîìåíòû âðåìåíè t0 è t0 ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîì è òîì æå ñîñòîÿíèè (ïîíÿòèå
ñîñòîÿíèÿ ñì. â I Ÿ1). Èç ôîðìóëû (59) ñëåäóåò, ÷òî
                             r                   r                r
                          Z2
                           q   m(q)       Z1
                                           q         m(q)      Z0
                                                                q    m(q)
                                    dq                    dq              dq
            t0 − t0 ≡ T =    p 2        +        p 2         + p 2            ,
                              E − U (q)       − E − U (q)           E − U (q)
                         q0                     q2                       q1

èëè
                                         Zq2 p
                                               2m(q) dq
                                     T =     p           .                              (60)
                                               E − U (q)
                                           q1

Êàê ìû âèäèì, âåëè÷èíà T íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè q0 . Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè
q ∈ [q1 , q2 ], êîòîðóþ ñèñòåìà ïðîõîäèò â ìîìåíò âðåìåíè t, ìû áóäåì èìåòü
                              q(t) = q(t + T ) ,      q̇(t) = q̇(t + T ) .
Ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿìè (6), (11) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû è äåêàðòîâû ñêîðîñòè òî÷åê
ñèñòåìû îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç q, q̇, òî îòñþäà ñëåäóåò òàêæå, ÷òî
                  ri (t) = ri (t + T ) ,   ṙi (t) = ṙi (t + T ) ,   i = 1, ..., N .   (61)
Äâèæåíèå ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (61), íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì, à T 
ïåðèîäîì äâèæåíèÿ. Ýòî îïðåäåëåíèå ïðèìåíèìî ê ñèñòåìàì ñ ëþáûì ÷èñëîì ñòåïåíåé
ñâîáîäû.
   Òàêèì îáðàçîì, ôèíèòíîå äâèæåíèå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ïåðèîäè÷íî.

Ïðèìåð 6.     Âåðíåìñÿ ê Ðèñ. 3. Ïóñòü q ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâîé êîîðäèíàòîé, çàäàþùåé
ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà ïðÿìîé, à m(q) = m  åå ìàññà. Òîãäà, ïî îïðåäåëå-
íèþ, äâèæåíèå ñ E = E2 ÿâëÿåòñÿ ôèíèòíûì â îáëàñòè q ∈ [q1 , q2 ]. Åñëè æå q0 > q3 , òî
äàæå åñëè q̇(t0 ) < 0, ñêîðîñòü ïîìåíÿåò çíàê ÷åðåç êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
                                          r
                                       Z0
                                        q   m(q)
                                                 dq
                                  ∆t =    p 2        ,
                                           E − U (q)
                                           q3


                                                 24

Страницы