Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r = r
1
−r
2
.
r
1
= R +
m
2
r
m
1
+ m
2
, r
2
= R −
m
1
r
m
1
+ m
2
.
˙
r
1
=
˙
R +
m
2
˙
r
m
1
+ m
2
,
˙
r
2
=
˙
R −
m
1
˙
r
m
1
+ m
2
,
L =
m
1
˙
r
2
1
2
+
m
2
˙
r
2
2
2
− U(|r
1
− r
2
|) =
µ
˙
R
2
2
+
m
˙
r
2
2
− U(r) ,
µ = m
1
+m
2
, m = m
1
m
2
/(m
1
+m
2
)
R, r
µ
R, m r
U(r).
R
∂L/∂
˙
R
P =
∂L
∂
˙
R
= µ
˙
R ,
R(t) =
P t
µ
+ R(0) .
m.
L =
m
˙
r
2
2
− U(r) .
r,
r = 0.
M = [r, p] , p =
∂L
∂
˙
r
= m
˙
r .
(r, M ) = 0 .
è òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà r = r1 − r2 . Âûðàçèì ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê ÷åðåç îáîáùåí-
íûå êîîðäèíàòû. Ìû èìååì
                                      m2 r                          m1 r
                        r1 = R +             ,        r2 = R −             .     (63)
                                     m1 + m2                       m1 + m2
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòåé ÷à-
ñòèö
                                      m2 ṙ                         m1 ṙ
                        ṙ1 = Ṙ +           ,        ṙ2 = Ṙ −           ,     (64)
                                     m1 + m2                       m1 + m2
ïîäñòàíîâêà êîòîðûõ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äàåò

                      m1 ṙ12 m2 ṙ22                    µṘ2 mṙ 2
              L=             +        − U (|r1 − r2 |) =     +      − U (r) ,    (65)
                       2       2                          2    2
ãäå µ = m1 + m2 , à âåëè÷èíà m = m1 m2 /(m1 + m2 ) íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåííîé ìàññîé äâóõ
÷àñòèö. Ìû âèäèì, ÷òî â êîîðäèíàòàõ R, r ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ðàñïàäàåòñÿ íà äâà
ñëàãàåìûõ, çàâèñÿùèõ îò ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïåðåìåííûõ. À èìåííî, ïåðâûé ÷ëåí â
(65) îïèñûâàåò ñâîáîäíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ìàññîé µ è ðàäèóñ-âåêòîðîì
R, à îñòàëüíûå  äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ìàññîé m è ðàäèóñ-âåêòîðîì r â
çàäàííîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r). Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
ôóíêöèé Ëàãðàíæà ýòèõ ñèñòåì îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ïåðâîé ñèñòåìû
íå ñîäåðæàò êîîðäèíàò âòîðîé, è íàîáîðîò, è ïîòîìó èõ äâèæåíèÿ íåçàâèñèìû. Òàêèì
îáðàçîì, èñõîäíàÿ çàäà÷à äâóõ òåë ñâåäåíà ê îäíî÷àñòè÷íîé.
   Êîìïîíåíòû R ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé
(38) ∂L/∂ Ṙ åñòü ñîõðàíÿþùèéñÿ èìïóëüñ ñèñòåìû:

                                              ∂L
                                        P =        = µṘ ,
                                              ∂ Ṙ
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                                                 Pt
                                       R(t) =       + R(0) .
                                                 µ
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâèæåíèå òî÷êè ñ ìàññîé m. Îíî îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà

                                            mṙ 2
                                       L=         − U (r) .                      (66)
                                             2
Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò ëèøü îò r, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìåíÿåò-
ñÿ ïðè ïîâîðîòàõ îòíîñèòåëüíî ëþáîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó r = 0. Ïîýòîìó
ñîõðàíÿåòñÿ åå ìîìåíò èìïóëüñà

                                                         ∂L
                               M = [r, p] ,      p=           = mṙ .            (67)
                                                         ∂ ṙ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

                                         (r, M ) = 0 .                           (68)


                                                 26

Страницы