ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
M. r, φ
M
x = r cos φ , y = r sin φ .
˙x = ˙r cos φ − r
˙
φ sin φ , ˙y = ˙r sin φ + r
˙
φ cos φ , ˙x
2
+ ˙y
2
= ˙r
2
+ r
2
˙
φ
2
.
L =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
φ
2
) − U(r) .
˙
φ
φ
M.
M =
∂L
∂
˙
φ
= mr
2
˙
φ .
˙
φ > 0
∂L/∂t = 0,
E =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
φ
2
) + U(r) .
r(t), φ(t).
˙
φ
E =
m ˙r
2
2
+
M
2
2mr
2
+ U(r) .
q = r
U
eff
(r) = U(r) +
M
2
2mr
2
.
U(r) U
eff
(r)
t − t
0
=
r
m
2
r
Z
r
0
dr
±
p
E − U
eff
(r)
.
r, φ.
dφ =
M
mr
2
dt ,
Äðóãèìè ñëîâàìè, ìàòåðèàëüíîé òî÷êà äâèæåòñÿ âñå âðåìÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêó- ëÿðíîé ñîõðàíÿþùåìóñÿ âåêòîðó M . Âûáåðåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû r, φ â ýòîé ïëîñ- êîñòè (ñ ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâëåííîé ïî âåêòîðó M ) x = r cos φ , y = r sin φ . Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ýòèõ ñîîòíîøåíèé äàåò ẋ = ṙ cos φ − rφ̇ sin φ , ẏ = ṙ sin φ + rφ̇ cos φ , ẋ2 + ẏ 2 = ṙ2 + r2 φ̇2 . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò âèä m 2 L= (ṙ + r2 φ̇2 ) − U (r) . (69) 2  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (40) äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòîé ôóíêöèè ïî φ̇ äàåò âåëè- ÷èíó ìîìåíòà èìïóëüñà, ïîñêîëüêó óãîë φ çàäàåò óãîë ïîâîðîòà ÷àñòèöû âîêðóã îñè, íàïðàâëåííîé ïî âåêòîðó M . Èòàê, ∂L M= = mr2 φ̇ . (70) ∂ φ̇ Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî φ̇ > 0 â òå÷åíèå âñåãî äâèæåíèÿ òî÷êè. Äàëåå, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (69) íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ∂L/∂t = 0, è ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ (44) m 2 E= (ṙ + r2 φ̇2 ) + U (r) . (71) 2 Èòàê, èìååòñÿ äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (70), (71) äëÿ äâóõ ôóíêöèé r(t), φ(t). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü ýòó ñèñòåìó, âûðàçèì φ̇ èç óðàâíåíèÿ (70) è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò â (71): mṙ2 M2 E= + + U (r) . (72) 2 2mr2 Ýòî óðàâíåíèå èìååò òîò æå âèä, ÷òî è óðàâíåíèå (57) ïðè äâèæåíèè ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû q = r â ýôôåêòèâíîì ïîëå ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé M2 Ueff (r) = U (r) + . (73) 2mr2 Âòîðîå ñëàãàåìîå â ýòîì âûðàæåíèè íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ôîðìóëó (59), çàìåíÿÿ â íåé U (r) íà Ueff (r) r Zr m dr t − t0 = p . (74) 2 ± E − Ueff (r) r0 Íàéäåì òåïåðü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè, ò.å. ñâÿçü êîîðäèíàò r, φ. Äëÿ ýòîãî ðàç- äåëÿåì äèôôåðåíöèàëû â óðàâíåíèè (70) M dφ = dt , (75) mr2 27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »