Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M. r, φ
M
x = r cos φ , y = r sin φ .
˙x = ˙r cos φ − r
˙
φ sin φ , ˙y = ˙r sin φ + r
˙
φ cos φ , ˙x
2
+ ˙y
2
= ˙r
2
+ r
2
˙
φ
2
.
L =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
φ
2
) − U(r) .
˙
φ
φ
M.
M =
∂L
∂
˙
φ
= mr
2
˙
φ .
˙
φ > 0
∂L/∂t = 0,
E =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
φ
2
) + U(r) .
r(t), φ(t).
˙
φ
E =
m ˙r
2
2
+
M
2
2mr
2
+ U(r) .
q = r
U
eff
(r) = U(r) +
M
2
2mr
2
.
U(r) U
eff
(r)
t − t
0
=
r
m
2
r
Z
r
0
dr
±
p
E − U
eff
(r)
.
r, φ.
dφ =
M
mr
2
dt ,
Äðóãèìè ñëîâàìè, ìàòåðèàëüíîé òî÷êà äâèæåòñÿ âñå âðåìÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêó-
ëÿðíîé ñîõðàíÿþùåìóñÿ âåêòîðó M . Âûáåðåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû r, φ â ýòîé ïëîñ-
êîñòè (ñ ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâëåííîé ïî âåêòîðó M )

                                   x = r cos φ ,          y = r sin φ .
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ýòèõ ñîîòíîøåíèé äàåò

         ẋ = ṙ cos φ − rφ̇ sin φ ,   ẏ = ṙ sin φ + rφ̇ cos φ ,        ẋ2 + ẏ 2 = ṙ2 + r2 φ̇2 .
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò âèä
                                        m 2
                                 L=       (ṙ + r2 φ̇2 ) − U (r) .                                      (69)
                                        2
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (40) äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòîé ôóíêöèè ïî φ̇ äàåò âåëè-
÷èíó ìîìåíòà èìïóëüñà, ïîñêîëüêó óãîë φ çàäàåò óãîë ïîâîðîòà ÷àñòèöû âîêðóã îñè,
íàïðàâëåííîé ïî âåêòîðó M . Èòàê,
                                                ∂L
                                       M=            = mr2 φ̇ .                                         (70)
                                                ∂ φ̇

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî φ̇ > 0 â òå÷åíèå âñåãî äâèæåíèÿ òî÷êè. Äàëåå, ôóíêöèÿ
Ëàãðàíæà (69) íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ∂L/∂t = 0, è ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ
(44)
                                        m 2
                                 E=       (ṙ + r2 φ̇2 ) + U (r) .                                      (71)
                                        2
Èòàê, èìååòñÿ äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (70), (71) äëÿ äâóõ
ôóíêöèé r(t), φ(t). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü ýòó ñèñòåìó, âûðàçèì φ̇ èç óðàâíåíèÿ (70)
è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò â (71):
                                        mṙ2    M2
                                  E=         +      + U (r) .                                           (72)
                                         2     2mr2
Ýòî óðàâíåíèå èìååò òîò æå âèä, ÷òî è óðàâíåíèå (57) ïðè äâèæåíèè ñ îäíîé ñòåïåíüþ
ñâîáîäû q = r â ýôôåêòèâíîì ïîëå ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé
                                                              M2
                                   Ueff (r) = U (r) +             .                                     (73)
                                                             2mr2
Âòîðîå ñëàãàåìîå â ýòîì âûðàæåíèè íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó ìû
ìîæåì ïðèìåíèòü ôîðìóëó (59), çàìåíÿÿ â íåé U (r) íà Ueff (r)
                                        r       Zr
                                            m            dr
                             t − t0 =                 p             .                                   (74)
                                            2        ± E − Ueff (r)
                                                r0

Íàéäåì òåïåðü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè, ò.å. ñâÿçü êîîðäèíàò r, φ. Äëÿ ýòîãî ðàç-
äåëÿåì äèôôåðåíöèàëû â óðàâíåíèè (70)
                                                     M
                                          dφ =           dt ,                                           (75)
                                                     mr2

                                                     27

Страницы