Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

q → ∞ t → ∞. q > q
3
E = E
1
E = E
3
m,
l
φ
φ
x = l sin φ, y = −l cos φ .
˙x = l
˙
φ cos φ, ˙y = l
˙
φ sin φ , ˙x
2
+ ˙y
2
= l
2
˙
φ
2
.
L =
ml
2
˙
φ
2
2
+ mgl cos φ ,
g m(φ) = ml
2
, U = −mgl cos φ
t − t
0
=
r
ml
2
2
φ
Z
φ
0
dφ
±
√
E + mgl cos φ
.
E > mgl. U(q) = E
˙
φ
x(t + T ) = x(t), y(t + T ) = y(t),
T =
r
ml
2
2
2π
Z
0
dφ
√
E + mgl cos φ
.
φ(t + T ) = φ(t)
φ 2π.
U(|r
1
− r
2
|),
s = 3 × 2 = 6.
R =
m
1
r
1
+ m
2
r
2
m
1
+ m
2
ïîñëå ÷åãî áóäåò îñòàâàòüñÿ âñå âðåìÿ ïîëîæèòåëüíîé è êîíå÷íîé ïî âåëè÷èíå. Ïîýòîìó
q → ∞ ïðè t → ∞. Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè q > q3 äâèæåíèå èíôèíèòíî. Àíàëîãè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè E = E1 âîçìîæíî ëèøü èíôèíèòíîå äâèæåíèå, à
ïðè E = E3  ëèøü ôèíèòíîå.

Ïðèìåð 7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê. Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññû m, ñîåäèíåí-
íàÿ æåñòêèì íåâåñîìûì ñòåðæíåì äëèíû l ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïîäâåñà, äâèæåòñÿ â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì. Îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé ìàÿòíèêà âûáåðåì óãîë φ ìåæäó
âåðòèêàëüþ è ñòåðæíåì. Òîãäà äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç φ ñî-
ãëàñíî
                             x = l sin φ, y = −l cos φ .
Îòñþäà
                     ẋ = lφ̇ cos φ,    ẏ = lφ̇ sin φ ,     ẋ2 + ẏ 2 = l2 φ̇2 .
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà èìååò âèä

                                        ml2 φ̇2
                                   L=           + mgl cos φ ,
                                          2
ãäå g  óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè. Ïîäñòàâëÿÿ m(φ) = ml2 , U = −mgl cos φ â óðàâíå-
íèå (59), ïîëó÷àåì
                                   r         Zφ
                                       ml2              dφ
                        t − t0 =                    √              .                 (62)
                                        2          ± E + mgl cos φ
                                             φ0


Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàÿòíèêà ñ ýíåðãèåé E > mgl.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå U (q) = E
íå èìååò ðåøåíèé âîâñå, è ïîýòîìó îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü φ̇ èìååò ïîñòîÿííûé çíàê, ò.å.
äâèæåíèå ìàÿòíèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðàùåíèå. Ýòî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷å-
ñêèì: x(t + T ) = x(t), y(t + T ) = y(t), ãäå
                                   r         Z2π
                                       ml2                 dφ
                             T =                   √                 .
                                        2              E + mgl cos φ
                                             0

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî óñëîâèå φ(t + T ) = φ(t) ïðè ýòîì íå âûïîëíÿåòñÿ: ñ
êàæäûì îáîðîòîì óãîë φ óâåëè÷èâàåòñÿ (èëè óìåíüøàåòñÿ) íà 2π.


  Ÿ2. Çàäà÷à äâóõ òåë

   Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-
ãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ çàâèñèò ëèøü îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè: U (|r1 − r2 |),
à ñâÿçè îòñóòñòâóþò. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òàêîé ñèñòåìû s = 3 × 2 = 6.  êà÷å-
ñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò âûáåðåì òðè êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà öåíòðà èíåðöèè
ñèñòåìû
                                     m1 r1 + m2 r2
                                R=
                                       m1 + m2

                                                  25

Страницы