Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

dt =
r
m
2
dr
±
p
E − U
eff
(r)
,
φ − φ
0
=
r
Z
r
0
M
√
2m r
2
dr
±
p
E − U
eff
(r)
, φ
0
= φ(t
0
) .
˙r > 0, ˙r < 0
r(t), φ(r), r(t)
φ
t = t
0
˙r = 0.
φ
φ
0
= 0, φ = 0.
˙r > 0,
φ =
r
Z
r
0
M
√
2m r
2
dr
+
p
E − U
eff
(r)
,
˙r < 0,
φ =
r
Z
r
0
M
√
2m r
2
dr
−
p
E − U
eff
(r)
.
r(φ) = r(−φ).
φ = 0.
U(r) =
α
r
.
α > 0 α < 0
r(t),
ïîäñòàâëÿåì                                    r
                                      m
                                        dr
                                      2
                              dt = p             ,
                                  ± E − Ueff (r)
è ïîëó÷àåì ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ:
                                         M
                                Zr    √        dr
                                        2m r 2
                     φ − φ0 =         p             ,       φ0 = φ(t0 ) .         (76)
                                     ± E − Ueff (r)
                                r0

Íàïîìíèì, ÷òî â ýòîé ôîðìóëå êîðåíü áåðåòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè íà äàííîì ó÷àñòêå
òðàåêòîðèè ṙ > 0, è ñî çíàêîì ìèíóñ, åñëè ṙ < 0. Óðàâíåíèå (74) îïðåäåëÿåò â íåÿâíîì
âèäå çàâèñèìîñòü r(t), à óðàâíåíèå (76)  ôóíêöèþ φ(r), ïîäñòàâëÿÿ â êîòîðóþ r(t)
íàéäåì çàâèñèìîñòü φ îò âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è
äâóõ òåë â êâàäðàòóðàõ.
   Èç ôîðìóëû (76) âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå. Ïóñòü ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ñîîò-
âåòñòâóåò êàêîé-ëèáî òî÷êå ïîâîðîòà, ò.å. òî÷êå, â êîòîðîé ṙ = 0. Äîãîâîðèìñÿ îòñ÷è-
òûâàòü óãîë φ îò íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ýòîò ìîìåíò, ò.å.
ïîëîæèì φ0 = 0, è ðàññìîòðèì äâèæåíèå â îêðåñòíîñòè φ = 0. Åñëè íà äàííîì ó÷àñòêå
òðàåêòîðèè ṙ > 0, òî èç ôîðìóëû (76) íàéäåì
                                                 M
                                        Zr    √        dr
                                                2m r 2
                                 φ =          p             ,                     (77)
                                             + E − Ueff (r)
                                       r0

Åñëè æå íà äàííîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ṙ < 0, òî áóäåò
                                                 M
                                        Zr    √        dr
                                                2m r 2
                                 φ =          p             .                     (78)
                                             − E − Ueff (r)
                                       r0

Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (77), (78), çàêëþ÷àåì, ÷òî ÷òî r(φ) = r(−φ). Òàêèì îáðàçîì, îáå
ðàññìàòðèâàåìûå âåòâè òðàåêòîðèè ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëü-
íî ïðÿìîé φ = 0. Ïîñêîëüêó ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé òî÷êè ïîâîðîòà, òî ìû ïðè-
õîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè äâèæåíèè â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå âñÿ òðàåêòîðèÿ
ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ëþáîé èç ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ
öåíòð ïîëÿ ñ òî÷êàìè ïîâîðîòà.


  Ÿ3. Äâèæåíèå â êóëîíîâîì ïîëå

  Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ê âàæíåéøåìó ñëó÷àþ êóëîíîâà ïîëÿ
                                                      α
                                            U (r) =     .
                                                      r
Ñëó÷àé α > 0 (α < 0) ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ îòòàëêèâàíèÿ (ïðèòÿæåíèÿ). Îïðåäåëèì
ñïåðâà âîçìîæíûå òèïû äâèæåíèÿ â òàêîì ïîëå. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê óðàâ-
íåíèþ (72), îïðåäåëÿþùåìó ôóíêöèþ r(t), ïîñêîëüêó äâèæåíèå òî÷êè ïðîèñõîäèò â

                                               28

Страницы