Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ
0
= 0, [t
0
, t],
˙r > 0.
˙
φ > 0, ˙r > 0
φ > 0.
φ =
r
Z
r
min
M
r
2
dr
r
2mE −
M
2
r
2
−
2mα
r
= −
r
Z
r
min
d
µ
M
r
s
2mE +
m
2
α
2
M
2
−
µ
M
r
+
mα
M
2
= arccos
M
r
+
mα
M
r
2mE +
m
2
α
2
M
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
r
r
min
.
e =
r
1 +
2EM
2
mα
2
, p =
M
2
m|α|
,
φ = arccos
½
1
e
·
p
r
+
α
|α|
¸¾
¯
¯
¯
¯
r
r
min
r ˙r = 0
r
min
,
2mE +
m
2
α
2
M
2
=
µ
M
r
+
mα
M
2
,
r
min
max
=
p
−
α
|α|
± e
.
α > 0, E > 0, e > 1,
r
min
= p/(e − 1). α < 0
E > 0 e > 1
r
min
= p/(1 + e), E < 0 e < 1,
r
min
= p/(1 + e), r
max
= p/(1 − e). r = r
min
arccos
φ φ = 0
r = r
min
, arccos 1 = 0.
φ > 0
p
r
= −
α
|α|
+ e cos φ .
r(φ) = r(−φ), φ < 0
ò.å. ïîëîæèì φ0 = 0, è ðàññìîòðèì äâèæåíèå íà îòðåçêå âðåìåíè [t0 , t], íà êîòîðîì
ṙ > 0. Ïîñêîëüêó âñåãäà φ̇ > 0, òî óñëîâèå ṙ > 0 îçíà÷àåò, ÷òî íà ðàññìàòðèâàåìîì
ó÷àñòêå òðàåêòîðèè φ > 0. Ôîðìóëà (76) äàåò
                                                           µ ¶
                         M                                    M
              Zr            dr             Zr            d
                         r2                                   r
         φ =      r                    =−      s                µ         ¶2
                           M 2 2mα                      m2 α2     M    mα
             rmin   2mE − 2 −             rmin
                                                 2mE +        −     +
                            r       r                   M2        r    M
                                    ¯r
                       M      mα    ¯
                          +         ¯
                       r      M     ¯
           = arccos r               ¯   .                                       (81)
                                2 2 ¯
                               mα ¯
                      2mE +         ¯
                               M 2 rmin
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ                r
                                           2EM 2          M2
                            e=       1+          ,   p=        ,
                                            mα2           m|α|
ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (81) â âèäå
                                      ½ ·      ¸¾¯r
                                       1 p   α   ¯
                           φ = arccos      +     ¯                                 (82)
                                       e r |α| ¯rmin

   Òî÷êè îñòàíîâêè ïî êîîðäèíàòå r (ò.å. òî÷êè, â êîòîðûõ ṙ = 0), â ÷àñòíîñòè, òî÷êà
rmin , îïðåäåëÿþòñÿ íóëÿìè êîðíÿ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè â ýòîé ôîðìóëå, ò.å.
óðàâíåíèåì
                                          µ         ¶2
                                 m2 α2      M    mα
                          2mE +        =      +        ,                          (83)
                                  M2        r    M
ðåøåíèÿìè êîòîðîãî âî âíîâü ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ ÿâëÿþòñÿ
                                                 p
                                  r min =       α     .                            (84)
                                     max
                                             −     ±e
                                               |α|
 ñëó÷àå ïîëÿ îòòàëêèâàíèÿ α > 0, E > 0, e > 1, ñëåäîâàòåëüíî, èìååòñÿ ëèøü îäèí
ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü rmin = p/(e − 1).  ñëó÷àå ïîëÿ ïðèòÿæåíèÿ α < 0 âîçìîæíû
äâà âàðèàíòà. Ïðè E > 0 ìû èìååì e > 1 è ñíîâà ëèøü îäèí ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü
rmin = p/(1 + e), à ïðè E < 0 èìååì e < 1, è ïîýòîìó îáà êîðíÿ (84) ïîëîæèòåëüíû:
rmin = p/(1 + e), rmax = p/(1 − e). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ïðè r = rmin àðãóìåíò arccos â
ôîðìóëå (82) ðàâåí åäèíèöå. Ïîñêîëüêó ìû âûáðàëè îòñ÷åò óãëà φ òàê, ÷òî φ = 0 ïðè
r = rmin , òî ñëåäóåò ïîëîæèòü arccos 1 = 0. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå òðàåêòîðèè íà
ó÷àñòêå φ > 0 ïðèíèìàåò âèä
                                 p     α
                                   =−     + e cos φ .                              (85)
                                 r    |α|

Ìû çíàåì, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷òî r(φ) = r(−φ), ïîýòîìó íà ó÷àñòêå φ < 0 óðàâíåíèå
òðàåêòîðèè èìååò òîò æå ñàìûé âèä (85).

                                             30

Страницы