Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F.
E < 0
α < 0, E < 0
p
r
= 1 + e cos φ , e =
r
1 −
2|E|M
2
mα
2
< 1 .
φ ∈ [−π, +π]. r = p/(1 −e) = r
max
,
˙r(−π) = ˙r(+π) = 0.
˙
φ
M/(mr
2
max
)
φ = −π φ = +π
e p
a b
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 ,
x, y
a =
r
min
+ r
max
2
=
1
2
·
p
1 + e
+
p
1 − e
¸
=
p
1 − e
2
.
Ðèñ. 5: Òðàåêòîðèÿ ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â êóëîíîâîì ïîëå. Öåíòð ïîëÿ
îáîçíà÷åí ÷åðåç F.


  Êóëîíîâî ïîëå ïðèòÿæåíèÿ. Çàêîíû Êåïëåðà

  Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñ E < 0 â êóëîíîâîì ïîëå ïðèòÿæåíèÿ áîëåå ïîäðîáíî. Ïðè
α < 0, E < 0 óðàâíåíèå òðàåêòîðèè èìååò âèä
                                          r
                     p                         2|E|M 2
                       = 1 + e cos φ , e = 1 −         < 1.               (86)
                     r                           mα2
Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ôèíèòíîå äâèæåíèå â êóëîíîâîì ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïåðè-
îäè÷åñêèì. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè òî÷êè íà îòðåçêå
φ ∈ [−π, +π]. Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (86) íà ãðàíèöàõ ýòîãî îòðåçêà r = p/(1 − e) = rmax ,
è ïîýòîìó ṙ(−π) = ṙ(+π) = 0. Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ (70) ñëåäóåò, ÷òî φ̇ òàêæå èìååò
îäíî è òî æå çíà÷åíèå [ðàâíîå M/(mrmax
                                     2
                                        )] â íà÷àëå è êîíöå ïóòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
çíà÷åíèÿ φ = −π è φ = +π ñîîòâåòñòâóþò îäíîé è òîé æå òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì
îáðàçîì, êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñîâïàäàåò ñ åå íà÷àëüíûì ñîñòîÿ-
íèåì. Ïîñêîëüêó çàäàíèå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿåò åå äàëüíåéøóþ ýâîëþöèþ, òî ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó î òîì, ÷òî äâèæåíèå
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïåðèîäè÷íî.  ÷àñòíîñòè, òðàåêòîðèè ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ â
êóëîíîâîì ïîëå çàìêíóòû.
   Êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì (86), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñ, îäèí èç ôîêó-
ñîâ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ïîëÿ.  ïðèìåíåíèè ê äâèæåíèþ ïëàíåò ñîëíå÷íîé
ñèñòåìû ýòî óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà. Ââåäåííûå
âûøå âåëè÷èíû e è p íàçûâàþòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì è ïàðàìåòðîì ýëëèïñà, ñîîò-
âåòñòâåííî. Ñâÿæåì èõ ñ áîëüøîé (a) è ìàëîé (b) ïîëóîñÿìè ýëëèïñà, îïðåäåëÿþùèìè
êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó óðàâíåíèÿ ýëëèïñà

                                   x2 y 2
                                      + 2 = 1,                                    (87)
                                   a2  b
ãäå x, y  äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè ýëëèïñà (ñì. Ðèñ. 5). Êàê âèäíî èç ðèñóíêà,
                                         ·          ¸
                         rmin + rmax   1   p     p          p
                     a=              =       +        =         .
                              2        2 1+e 1−e         1 − e2


                                        31

Страницы