Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

e =
r
1 −
b
2
a
2
.
b = a
√
1 − e
2
=
p
√
1 − e
2
.
x = a − r
min
+ r cos φ = ea + r cos φ ,
y = r sin φ .
e p,
a =
|α|
2|E|
, b =
M
p
2m|E|
.
∆t. (∆t)
2
∆s r(t) r(t)
˙
φ∆t :
∆s = r
2
˙
φ∆t/2 . ∆t → 0
ds
dt
=
1
2
r
2
(t)
˙
φ =
M
2m
= const .
S,
πab.
S = π
|α|
2|E|
M
p
2m|E|
=
πM
p
m|α|
s
µ
|α|
2|E|
3
=
πM
p
m|α|
a
3/2
.
S =
T
Z
0
ds
dt
dt =
MT
2m
.
T = 2π
s
ma
3
|α|
.
Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ ýêñöåíòðèñèòåòà,
                                      r
                                                  b2
                                    e=       1−      .
                                                  a2
Ïîýòîìó
                                   √             p
                              b = a 1 − e2 = √        .
                                               1 − e2
Èç Ðèñ. 5 î÷åâèäíà ñâÿçü äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò:

                        x = a − rmin + r cos φ = ea + r cos φ ,
                        y = r sin φ .                                           (88)

Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, íåòðóäíî ïðîâåðèòü ýêâèâàëåíòíîñòü óðàâíåíèé (86) è
(87). Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ e è p, ìîæíî âûðàçèòü ïîëóîñè îðáèòû ÷åðåç
ýíåðãèþ è ìîìåíò ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:
                                  |α|               M
                            a=        ,    b= p            .                    (89)
                                 2|E|              2m|E|
  Âåðíåìñÿ ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà (70). Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðà-
âîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè, çàìåòàåìîé ðàäèóñ-âåêòîðîì
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â åäèíèöó âðåìåíè è íàçûâàåìîé ñåêòîðèàëüíîé ñêîðîñòüþ (çà-
øòðèõîâàííàÿ ïëîùàäü íà Ðèñ. 5). Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïåðåìåùåíèå òî÷êè çà
ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Òîãäà ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïîðÿäêà (∆t)2 çàìåòàå-
ìàÿ ïëîùàäü ∆s åñòü ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè r(t) è r(t)φ̇∆t :
∆s = r2 φ̇∆t/2 .  ïðåäåëå ∆t → 0 ìû ïîëó÷èì
                           ds  1           M
                              = r2 (t)φ̇ =    = const .                         (90)
                           dt  2           2m
Òàêèì îáðàçîì, ïðè äâèæåíèè â ëþáîì öåíòðàëüíîì ïîëå ñåêòîðèàëüíàÿ ñêîðîñòü ïî-
ñòîÿííà.  ïðèìåíåíèè ê äâèæåíèþ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ïîñòîÿíñòâî ñåêòîðè-
àëüíîé ñêîðîñòè íàçûâàåòñÿ âòîðûì çàêîíîì Êåïëåðà. Îïðåäåëèì òåïåðü ïîëíóþ ïëî-
ùàäü S, çàìåòàåìóþ ðàäèóñ-âåêòîðîì çà ïåðèîä. Ýòî åñòü ïëîùàäü ýëëèïñà, ðàâíàÿ
πab. Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (89) åå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê
                                          sµ      ¶3
                     |α|    M       πM        |α|      πM 3/2
               S=π       p      =p                   =p      a .
                    2|E| 2m|E|       m|α|    2|E|       m|α|
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èíòåãðèðóÿ ðàâåíñòâî (90) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
                                      ZT
                                           ds      MT
                                 S=           dt =    .
                                           dt      2m
                                      0

Èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ïåðèîäà äâèæåíèÿ
                                       s
                                         ma3
                                T = 2π       .                                  (91)
                                         |α|

                                           32

Страницы