Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

E, M v
0
ρ,
ρ
r = 0 φ
φ
0
= 0, r
0
= ∞.
M = |[r, mv]| = mrv sin φ. φ → 0, r → ∞,
r sin φ = ρ.
M = mρv
0
.
E = mv
2
0
/2,
φ =
r
Z
∞
ρ
r
2
dr
±
s
1 −
2U(r)
mv
2
0
−
ρ
2
r
2
.
r → ∞, φ
˜
φ =
r
min
Z
∞
ρ
r
2
dr
−
s
1 −
2U(r)
mv
2
0
−
ρ
2
r
2
+
∞
Z
r
min
ρ
r
2
dr
+
s
1 −
2U(r)
mv
2
0
−
ρ
2
r
2
,
˜
φ =
∞
Z
r
min
2ρ
r
2
dr
s
1 −
2U(r)
mv
2
0
−
ρ
2
r
2
.
r
min
χ = π −
˜
φ.
χ
dσ,
[χ, χ + dχ]
[ρ, ρ + dρ]
[χ, χ + dχ].
2πρdρ.
χ dχ.
dρ =
dρ
dχ
dχ .
   Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è äâóõ òåë, è ðåøàåòñÿ ñ ïîìî-
ùüþ îáùåé ôîðìóëû (76). Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèìåíèòü ýòó ôîðìóëó, íóæíî âûðàçèòü
âõîäÿùèå â íåå ïàðàìåòðû E, M ÷åðåç íà÷àëüíûå äàííûå  íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 è
òàê íàçûâàåìîå ïðèöåëüíîå ðàññòîÿíèå ρ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó
àñèìïòîòîé òðàåêòîðèè ÷àñòèöû â íà÷àëå åå äâèæåíèÿ è öåíòðîì ïîëÿ (ñì. Ðèñ. 6).
Äðóãèìè ñëîâàìè, ρ åñòü ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì ÷àñòèöà ïðîøëà áû
îò òî÷êè r = 0 â îòñóòñòâèå ïîëÿ. Äîãîâîðèìñÿ, äàëåå, îòñ÷èòûâàòü óãîë φ îò íà-
÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöû, ò.å. ïîëîæèì φ0 = 0, r0 = ∞. Òîãäà
M = |[r, mv]| = mrv sin φ.  íà÷àëå äâèæåíèÿ, ò.å. ïðè φ → 0, r → ∞, èìååì, ïî
îïðåäåëåíèþ ïðèöåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ, r sin φ = ρ. Ïîýòîìó

                                               M = mρv0 .

Ó÷èòûâàÿ òàêæå, ÷òî E = mv02 /2, ïîëó÷àåì

                                        Zr        ρ
                                                     dr
                                φ=            s   r2         .
                                     ∞
                                                   2U (r) ρ2
                                             ± 1−        − 2
                                                    mv02  r

Äëÿ ðàññåÿííîé ÷àñòèöû r → ∞, à çíà÷åíèå óãëà φ â êîíöå äâèæåíèÿ ðàâíî

                     Z
                     rmin        ρ               Z∞      ρ
                                   2
                                     dr                     dr
              φ̃ =           s   r             +    s    r2          ,
                                  2U (r) ρ   2            2U (r) ρ 2
                     ∞      − 1−          − 2 rmin + 1 −        − 2
                                        2
                                   mv0     r               mv02  r
èëè

                                         Z∞         2ρ
                                                       dr
                                 φ̃ =          s    r2        .                (92)
                                        rmin
                                                    2U (r) ρ2
                                                 1−       − 2
                                                     mv02  r

Íàïîìíèì, ÷òî rmin åñòü íóëü êîðíÿ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Êàê âèäíî èç
Ðèñ. 6, óãîë ðàññåÿíèÿ χ = π − φ̃.
   Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññåÿííûõ ÷àñòèö ïî óãëó χ èñïîëüçóþò òàê íàçûâà-
åìîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, dσ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷èñëî ÷àñòèö,
ðàññåÿííûõ â èíòåðâàë óãëîâ [χ, χ + dχ] â åäèíèöó âðåìåíè ïðè åäèíè÷íîé ïëîòíîñòè
ïîòîêà íàëåòàþùèõ ÷àñòèö (ïëîòíîñòüþ ïîòîêà íàçûâàþò ÷èñëî ÷àñòèö, ïðîëåòàþùèõ
â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêî-
ðîñòè ÷àñòèö). Ïóñòü èíòåðâàë [ρ, ρ + dρ] åñòü òîò èíòåðâàë ïðèöåëüíûõ ðàññòîÿíèé,
êîòîðûå èìåþò ÷àñòèöû, ðàññåèâàåìûå â èíòåðâàë óãëîâ [χ, χ + dχ]. Òîãäà ÷èñëî ýòèõ
÷àñòèö ðàâíî 2πρdρ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, ýòî
÷èñëî ñëåäóåò âûðàçèòü ÷åðåç χ è dχ. Äëÿ ýòîãî íàïèøåì

                                                      dρ
                                               dρ =      dχ .
                                                      dχ

                                                  34

Страницы