Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

s.
V = 0, U(q)
q = q
(0)
∂U
∂q
α
(q
(0)
) = 0 , α = 1, ..., s .
q
(0)
.
L = T − U :
L =
N
X
i=1
m
i
2
Ã
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
˙q
α
,
s
X
β=1
∂r
i
∂q
β
˙q
β
!
− U(q) =
s
X
α,β=1
m
αβ
(q)
2
˙q
α
˙q
β
− U(q) ,
m
αβ
(q) =
N
X
i=1
m
i
µ
∂r
i
∂q
α
,
∂r
i
∂q
β
.
ξ
α
= q
α
− q
(0)
α
, α = 1, ..., s.
ξ
t
0
˙q =
˙
ξ
t,
ξ,
˙
ξ.
U(q
(0)
+ ξ) = U(q
(0)
) +
s
X
α=1
∂U
∂q
α
(q
(0)
)ξ
α
+
1
2
s
X
α,β=1
∂
2
U
∂q
α
∂q
β
(q
(0)
)ξ
α
ξ
β
+ O(ξ
3
)
= U(q
(0)
) +
1
2
s
X
α,β=1
k
αβ
ξ
α
ξ
β
+ O(ξ
3
) ,
k
αβ
=
∂
2
U
∂q
α
∂q
β
(q
(0)
)
IV. ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß (ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ)

   Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñèñòåìû ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñîâåðøàþùåé ìàëûå
êîëåáàíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è îáùèé âèä ðåøåíèÿ çàäà÷è. Êîëåáàíèÿ ìîëåêóë.
Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî
äâèæåíèé. Óãëû Ýéëåðà. Äâèæåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà.


  Ÿ1. Êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû

   Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíÿìè ñâîáîäû s. Ïóñòü äëÿ ïðî-
ñòîòû V = 0, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U (q) ñèñòåìû íå çàâèñèò îò âðåìåíè è ïðè
q = q (0) èìååò ýêñòðåìóì
                            ∂U (0)
                               (q ) = 0 , α = 1, ..., s .
                           ∂qα
Èññëåäóåì äâèæåíèå ñèñòåìû â ìàëîé îêðåñòíîñòè q (0) . Äëÿ ýòîãî, âî-ïåðâûõ, çàïè-
øåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (6) äëÿ äåêàðòîâûõ ñêîðîñòåé òî÷åê
ñèñòåìû â L = T − U :
            N
                 Ã s           s
                                        !          s
           X   mi X ∂ri        X ∂ri               X   mαβ (q)
       L=                q̇α ,       q̇β − U (q) =             q̇α q̇β − U (q) , (96)
           i=1
               2 α=1 ∂qα         ∂qβ    β=1
                                                         2              α,β=1

ãäå
                                              N
                                              X             µ             ¶
                                                                ∂ri ∂ri
                                  mαβ (q) =            mi          ,          .                (97)
                                                 i=1
                                                                ∂qα ∂qβ

Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå

                                      ξα = qα − qα(0) ,         α = 1, ..., s.

ξ îïðåäåëÿþò âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ïî ïðåäïî-
ëîæåíèþ ìàëû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 ñîîòâåòñòâóþùèå
ñêîðîñòè q̇ = ξ˙ òàêæå ìàëû, è áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû íà ïðè òàêèõ
t, ïðè êîòîðûõ ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ. Òîãäà ìîæíî ðàçëîæèòü ôóíêöèþ
Ëàãðàíæà (96) ïî ñòåïåíÿì ìàëûõ âåëè÷èí ξ, ξ. ˙ Ðàçëîæåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
èìååò âèä
                                    Xs                   s
              (0)               (0)     ∂U (0)       1 X ∂2U
       U (q         + ξ) = U (q ) +         (q )ξα +                 (q (0) )ξα ξβ + O(ξ 3 )
                                    α=1
                                        ∂qα          2 α,β=1 ∂qα ∂qβ
                                        s
                                (0) 1 X
                         = U (q ) +         kαβ ξα ξβ + O(ξ 3 ) ,                              (98)
                                    2 α,β=1

ãäå
                                                    ∂ 2U
                                           kαβ   =         (q (0) )
                                                   ∂qα ∂qβ


                                                       36

Страницы