Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

˙q = 0,
q
(0)
,
q = q
(0)
U(q)
q = q
(0)
, ˙q = 0
E −U(q
(0)
) q
(0)
η
α
(t) :
s
X
β=1
(m
αβ
¨η
β
+ k
αβ
η
β
) = 0 , α = 1, ..., s.
m
αβ
, k
αβ
Re
s
X
β=1
(m
αβ
¨η
β
+ k
αβ
η
β
) =
s
X
β=1
µ
m
αβ
d
2
dt
2
Re η
β
+ k
αβ
Re η
β
= 0 , α = 1, ..., s,
Im
s
X
β=1
(m
αβ
¨η
β
+ k
αβ
η
β
) =
s
X
β=1
µ
m
αβ
d
2
dt
2
Im η
β
+ k
αβ
Im η
β
= 0 , α = 1, ..., s.
Re η Im η
ξ(t)
ξ
α
(t) = Re η
α
(t) , α = 1, ..., s,
η(t)
η
α
(t) = A
α
e
iωt
, α = 1, ..., s,
A
α
ω.
ξ
α
(t), α = 1 , ..., s ω.
s
X
β=1
¡
−m
αβ
ω
2
+ k
αβ
¢
A
β
= 0 , α = 1, ..., s.
A
β
:
det(−m
αβ
ω
2
+ k
αβ
) = 0 .
s ω
2
, s
ω
2
k
, k = 1, ..., s. ω
k
q̇ = 0, òî îíà áóäåò îñòàâàòüñÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè íåîãðàíè÷åííî äîëãî. Ïîýòîìó ïîëî-
æåíèå ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîå íàáîðîì q (0) , íàçûâàåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ. Åñëè
ïðè q = q (0) U (q) èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì, òî ïðè ìàëîì îòêëîíåíèè ñîñòîÿíèÿ ñè-
ñòåìû îò q = q (0) , q̇ = 0 îíà áóäåò ñòðåìèòüñÿ âåðíóòüñÿ îáðàòíî. Äðóãèìè ñëîâàìè,
ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè ðàçíîñòè E − U (q (0) ) äâèæåíèå â îêðåñòíîñòè q (0) áóäåò
ôèíèòíûì. Òàêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íàçûâàþò óñòîé÷èâûì.
    Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé (100) ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ êîìïëåêñ-
íûõ ôóíêöèé ηα (t) :
                       s
                       X
                              (mαβ η̈β + kαβ ηβ ) = 0 ,     α = 1, ..., s.                      (101)
                        β=1


Ñèñòåìû óðàâíåíèé (100) è (101) ýêâèâàëåíòíû. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîå ðåøåíèå (100)
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ðåøåíèåì (101). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû mαβ , kαβ
ïî îïðåäåëåíèþ âåùåñòâåííû, òî áåðÿ âåùåñòâåííóþ ëèáî ìíèìóþ ÷àñòè óðàâíåíèé
(101), ïîëó÷èì
          s
          X                         s µ
                                    X                           ¶
                                            d2
       Re     (mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =     mαβ 2 Re ηβ + kαβ Re ηβ = 0 ,          α = 1, ..., s,
          β=1                       β=1
                                            dt
          Xs                        Xs µ                        ¶
                                            d2
       Im     (mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =      mαβ 2 Im ηβ + kαβ Im ηβ = 0 ,         α = 1, ..., s.
          β=1                       β=1
                                            dt

Òàêèì îáðàçîì, âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû Re η è Im η ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû
(100). Èòàê, ëþáîå ðåøåíèå ξ(t) ñèñòåìû (100) ïðåäñòàâèìî â âèäå

                               ξα (t) = Re ηα (t) ,     α = 1, ..., s,

ãäå η(t)  ðåøåíèå ñèñòåìû (101).
   Áóäåì èñêàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (101) â âèäå

                               ηα (t) = Aα eiωt ,     α = 1, ..., s,                            (102)

ñ ïîñòîÿííûìè êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè Aα è ÷àñòîòîé ω. Ñîîòâåòñòâóþùèé íàáîð
ξα (t), α = 1, ..., s îïèñûâàåò íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñèñòåìû ñ ÷àñòîòîé ω. Ïîäñòàâëÿÿ
âûðàæåíèÿ (102) â (100), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
                      s
                      X ¡                 ¢
                            −mαβ ω 2 + kαβ Aβ = 0 ,           α = 1, ..., s.                    (103)
                      β=1

Óñëîâèåì ñîâìåñòíîñòè ýòîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ îáðà-
ùåíèå â íóëü îïðåäåëèòåëÿ, ñîñòàâëåííîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè Aβ :

                                  det(−mαβ ω 2 + kαβ ) = 0 .                                    (104)

Óðàâíåíèå (104) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Îíî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè-
÷åñêèì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà s îòíîñèòåëüíî ω 2 , è ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû èìååò s
êîðíåé ωk2 , k = 1, ..., s. ωk íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ñèñòåìû. Íåêîòîðûå èç

                                              38

Страницы