Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ω
2
k
s A
(k)
α
, k = 1, ..., s.
ξ
α
(t) = Re
(
s
X
k=1
A
(k)
α
e
iω
k
t
)
, α = 1, ..., s .
ω
k
A
(k)
α
C
(k)
α
φ
(k)
α
A
(k)
α
= C
(k)
α
exp{iφ
(k)
α
}, φ
(k)
α
∈ [0, π) .
C
(k)
α
φ
(k)
α
[0, π). φ
(k)
α
k
φ
(k)
α
= φ
(k)
, α = 1, .., s.
k
Re A
(k)
α
= C
(k)
α
cos φ
(k)
α
Im A
(k)
α
= C
(k)
α
sin φ
(k)
α
.
ξ
α
(t) =
s
X
k=1
C
(k)
α
cos(ω
k
t + φ
(k)
) , α = 1, ..., s .
C
(k)
α
(−m
αβ
ω
2
k
+ k
αβ
)
C
(k)
α
= C
(k)
M
(k)
α
k
α
, α = 1, ..., s,
C
(k)
M
(k)
α
k
α
α
k
(−m
αβ
ω
2
k
+ k
αβ
). α
k
ξ
α
(t) =
s
X
k=1
C
(k)
M
(k)
α
k
α
cos(ω
k
t + φ
(k)
) , α = 1, ..., s .
2s C
(k)
, φ
(k)
, k = 1, ..., s,
êîðíåé ωk2 ìîãóò îêàçàòüñÿ êðàòíûìè.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû íàçûâà-
þò âûðîæäåííûìè. Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïîî÷åðåäíî â
                                                          (k)
ñèñòåìó (103), íàéäåì s ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ Aα , k = 1, ..., s. Îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèé (100) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé âñåõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé:
                                  ( s            )
                                   X
                      ξα (t) = Re     A(k)
                                       α e
                                           iωk t
                                                   , α = 1, ..., s .              (105)
                                          k=1



  Íåâûðîæäåííûé ñëó÷àé

   Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, â ñëó÷àå êîãäà âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêîãî óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íû, ñèñòåìà (103) èìååò äëÿ êàæäîãî ωk ðîâíî îäíî ëèíåéíî-
                      (k)
íåçàâèñèìîå ðåøåíèå Aα . Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòü çàêîí äâèæåíèÿ â ÿâíî âåùåñòâåí-
                                              (k)   (k)
íîì âèäå, îïðåäåëèì âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû Cα è φα ñîãëàñíî

                         A(k)  (k)     (k)
                          α = Cα exp{iφα } ,                φ(k)
                                                             α ∈ [0, π) .                 (106)

Ýòà çàïèñü àíàëîãè÷íà ïðåäñòàâëåíèþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ÷åðåç åãî ìîäóëü è ôàçó, çà
                                                   (k)
èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âåëè÷èíà Cα ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé,
                                                          (k)
òàê è îòðèöàòåëüíîé, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåì, ÷òî ôàçà φα ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ
                                                                                (k)
òîëüêî èç ïîëóîòêðûòîãî îòðåçêà [0, π). Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ âñå ôàçû φα
ñ äàííûì k ðàâíû:
                              φ(k)
                               α = φ
                                      (k)
                                          , α = 1, .., s.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, ñèñòåìà (103) èìåëà áû äëÿ äàííîãî k äâà ðàç-
                      (k)    (k)   (k)       (k)    (k)   (k)
ëè÷íûõ ðåøåíèÿ Re Aα = Cα cos φα è Im Aα = Cα sin φα . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå
(106) â óðàâíåíèå (105), ïåðåïèñûâàåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â âèäå
                               s
                               X
                    ξα (t) =          Cα(k) cos(ωk t + φ(k) ) ,      α = 1, ..., s .      (107)
                               k=1

                                                                         (k)
Çàìåòèì, ÷òî â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû Cα ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç
ýëåìåíòû ìàòðèöû (−mαβ ωk2 + kαβ ) ÿâíî:

                               Cα(k) = C (k) Mα(k)
                                                kα
                                                   ,     α = 1, ..., s,                   (108)
                                                                         (k)
ãäå C (k)  ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à Mαk α  ìèíîðû ýëåìåíòîâ αk -îé
ñòðîêè ìàòðèöû (−mαβ ωk2 + kαβ ). Íîìåð ñòðîêè αk ìîæåò áûòü ëþáûì, ëèøü áû ýòà
ñòðîêà ñîäåðæàëà õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ìèíîðîì (òàêîé ýëåìåíò
ñóùåñòâóåò â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î íåâûðîæäåííîñòè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò). Òàêèì îá-
ðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä
                             s
                             X
                  ξα (t) =         C (k) Mα(k)
                                            kα
                                               cos(ωk t + φ(k) ) ,      α = 1, ..., s .   (109)
                             k=1

Ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò 2s ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ C (k) , φ(k) , k = 1, ..., s, îïðåäåëÿå-
ìûõ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

                                                  39

Страницы