Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ã
C
(1)
1
C
(1)
2
!
= C
(1)
µ
1
0
Ã
C
(2)
1
C
(2)
2
!
= C
(2)
µ
0
1
γ = π/2.
˙
R = 0
|
˙
r
1
|
|
˙
r
2
|
=
m
2
m
1
.
≈ 10
3
.
r
i
, i = 1, ..., N,
E
e
= T
e
+ U
ee
+ U
en
= E
e
(r) ,
U
ee
U
en
E = T
n
(
˙
r) + U
nn
(r) + E
e
(r) ,
T
n
U
nn
U
nn
(r) + E
e
(r) ≡ U(r)
L(r,
˙
r) =
N
X
i=1
m
i
˙
r
2
i
2
− U(r) .
Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåâîäèò ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (114)
äðóã â äðóãà. Íàïðèìåð, ðåøåíèå
                                Ã      !       µ ¶
                                   (1)
                                 C1         (1) 1
                                   (1)   =C
                                 C2             0

ïåðåõîäèò âî âòîðîå ëèíåéíî-íåçàâèñèìîå ðåøåíèå
                                Ã      !       µ ¶
                                   (2)
                                  C1        (2) 0
                                   (2)   =C
                                  C2            1

ïðè γ = π/2.


  Ÿ2. Êîëåáàíèÿ ìîëåêóë

   Â ñèëó ìàëîñòè ìàññû ýëåêòðîíà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé ïðîòîíà ñêîðîñòè ýëåêòðî-
íîâ â àòîìàõ çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿò ÿäåðíûå ñêîðîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, êàê ñëåäóåò
èç ôîðìóëû (64), â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ äâóõ ÷àñòèö (Ṙ = 0) îòíîøåíèå èõ ñêîðîñòåé

                                         |ṙ1 |   m2
                                                =    .
                                         |ṙ2 |   m1
Îöåíèâàÿ ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëû çàäà÷è äâóõ òåë ïîðÿäîê îòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé
ýëåêòðîíîâ è ÿäåð â ñëîæíûõ àòîìàõ, ìû âèäèì, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ≈ 103 . Ýòîò ôàêò
èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ ìîëåêóë. Îí îçíà÷àåò, ÷òî ïðè
âîçìóùåíèè ìîëåêóë èçìåíåíèå ýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèè ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíî
áûñòðåå, ÷åì ÿäåðíîé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êàæäûé äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòî-
ÿíèå ýëåêòðîíîâ òàêîâî, êàêèì îíî áûëî áû åñëè áû ÿäðà ïîêîèëèñü. Ïîýòîìó ñóì-
ìàðíûå êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âñåõ ýëåêòðîíîâ â ìîëåêóëå ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèÿìè ëèøü ðàäèóñ-âåêòîðîâ ÿäåð ri , i = 1, ..., N, íî íå èõ ñêîðîñòåé, óñêîðåíèé
è ò.ä.:
                           Ee = Te + Uee + Uen = Ee (r) ,
ãäå Uee è Uen îáîçíà÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî, ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ
ýëåêòðîíîâ äðóã ñ äðóãîì è ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ÿäðàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû

                            E = Tn (ṙ) + Unn (r) + Ee (r) ,

ãäå Tn åñòü ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿäåð, à Unn  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èõ
âçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì. Ìû âèäèì, ÷òî ñóììó Unn (r) + Ee (r) ≡ U (r) ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê ýôôåêòèâíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÿäåð. Îíà
íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîííûì òåðìîì ìîëåêóëû. Òàêèì îáðàçîì, â ïðèáëèæåíèè, â êîòî-
ðîì ìàññîé ýëåêòðîíà ïðåíåáðåãàåòñÿ âîâñå, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ÿäåð ìîëåêóëû èìååò
âèä
                                         N
                                         X mi ṙ 2   i
                            L(r, ṙ) =                   − U (r) .              (116)
                                         i=1
                                                 2

                                            41

Страницы