Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

u
i
,
u
i
N
X
i=1
m
i
[r
0
i
,
˙
u
i
] =
d
dt
N
X
i=1
m
i
[r
0
i
, u
i
] = M
0
,
N
X
i=1
m
i
[r
0
i
, u
i
] = M
0
t + N
0
,
N
0
u
i
M
0
= 0.
N
0
ω
k
:
ξ
α
(t) = C
(k)
α
cos(ω
k
t + φ
(k)
) , α = 1, ..., s.
t
(k)
0
= −
φ
(k)
ω
k
+
π
2ω
k
ξ
α
(t
(k)
0
) = 0 , α = 1, ..., s.
u
(k)
i
(t), i = 1, ..., N k
N
X
i=1
m
i
[r
0
i
, u
(k)
i
] = N
(k)
0
, k = 1, ..., s.
u
(k)
i
(t
(k)
0
) = 0, i = 1, ..., N, N
(k)
0
= 0, k =
1, ..., s.
N
X
i=1
m
i
[r
0
i
, u
i
] = 0 ,
u
i
=
s
P
k=1
u
(k)
i
, i = 1, ..., N
u
(k)
i
(t) u
i
(t)
u
i
= 0,
òàêîâîé, îäíàêî, â ñëó÷àå ìàëûõ êîëåáàíèé.  ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíû ui , îïðåäåëÿ-
þùèå îòêëîíåíèÿ ÿäåð îò èõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, îñòàþòñÿ âñå âðåìÿ ìàëûìè â
îòñóòñòâèå âðàùåíèÿ ìîëåêóëû êàê öåëîãî. Ïåðåïèñûâàÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà
èìïóëüñà ÷åðåç ui è ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì
                               N
                               X                                 N
                                                         d X
                                     mi [ri0 , u̇i ]   =        mi [ri0 , ui ] = M0 ,
                               i=1
                                                         dt i=1

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                                       N
                                       X
                                             mi [ri0 , ui ] = M0 t + N0 ,                               (118)
                                       i=1

ãäå N0 åñòü íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåêòîð. Ïîñêîëüêó îòêëîíåíèÿ ui îñòàþòñÿ âñå âðå-
ìÿ ìàëûìè, òî ëèíåéíûé ïî âðåìåíè ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ äîëæåí
îòñóòñòâîâàòü. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå îòñóòñòâèÿ âðàùåíèÿ ìîëåêóëû êàê öåëîãî òðå-
áóåò îáðàùåíèÿ â íóëü åå ìîìåíòà èìïóëüñà: M0 = 0. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî è âåêòîð
N0 òàêæå ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ. Êàê ìû çíàåì, ïðîèçâîëüíîå ìàëîå êîëå-
áàíèå ëþáîé ñèñòåìû, â òîì ÷èñëå è ìîëåêóëû, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íîðìàëüíûõ
êîëåáàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó ÷ëåíó ñóììû â ðåøåíèè (107).
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ωk :

                              ξα (t) = Cα(k) cos(ωk t + φ(k) ) ,              α = 1, ..., s.

Âèäíî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè
                                       φ(k)    π (k)
                                            +  t0 = −
                                       ωk     2ωk
âñå ÷àñòèöû ñèñòåìû ïðîõîäÿò ÷åðåç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ò.ê.
                                                (k)
                                         ξα (t0 ) = 0 ,              α = 1, ..., s.
                              (k)
Ïóñòü íàáîð ôóíêöèé ui (t), i = 1, ..., N îïèñûâàåò k -å íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ìîëåêó-
ëû. Ïðè ýòîì ôîðìóëà (118) èìååò âèä
                               N
                               X                    (k)          (k)
                                     mi [ri0 , ui ] = N0 ,                k = 1, ..., s.                (119)
                               i=1

                 (k)    (k)                                                                    (k)
Ïîñêîëüêó ui (t0 ) = 0, i = 1, ..., N, òî èç ýòèõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî N0                          = 0, k =
1, ..., s. Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ (119), ïîëó÷àåì
                                              N
                                              X
                                                       mi [ri0 , ui ] = 0 ,                             (120)
                                               i=1

           P
           s
                  (k)
ãäå ui =         ui , i = 1, ..., N îïèñûâàåò óæå ïðîèçâîëüíîå êîëåáàíèå ìîëåêóëû. Çàìå-
           k=1
                                              (k)
òèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ôóíêöèé ui (t) èõ ñóììà ui (t) óæå íå îáÿçàíà ïðîõîäèòü ÷åðåç
òî÷êó ui = 0, ò.å. ÷åðåç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.

                                                            43

Страницы