Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
3N − 6.
3N − 6 u
i
u,
˙
u,
3 ×3 −6 = 3.
[2 ×3 −(2 + 1) = 3].
3 ×3 −5 = 4,
CO
2
.
x.
C O
l
r
0
1
= (−l, 0, 0) , r
0
2
= (0, 0, 0) , r
0
3
= (l, 0, 0) ,
m(u
1
+ u
3
) + Mu
2
= 0 ,
[r
0
1
, u
1
− u
3
] = 0 ,
m M
r
0
3
= −r
0
1
x, y.
   Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè, äàííûìè â ãëàâå I, óðàâíåíèÿ (117) è (120) ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé øåñòü èäåàëüíûõ ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà ìîëåêóëó. Äðó-
ãèìè ñëîâàìè, ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû N -àòîìíîé ìîëåêóëû ðàâíî
3N − 6. Ñëåäóÿ àëãîðèòìó, óêàçàííîìó â íà÷àëå ãëàâû III, ìû ïðèíèìàåì êàêèå-ëèáî
3N − 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ui çà îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, âûðàæàåì
÷åðåç íèõ îñòàëüíûå 6 êîìïîíåíò èç ñîîòíîøåíèé (117), (120) è, ïîäñòàâëÿÿ èõ â ôóíê-
öèþ Ëàãðàíæà (116), ðàçëîæåííóþ ïî ñòåïåíÿì u, u̇, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà,
îïèñûâàþùóþ ìàëûå êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû.

Ïðèìåð 8. Êîëåáàíèÿ òðåõàòîìíîé ëèíåéíîé ìîëåêóëû. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ïðîèç-
âîëüíîé òðåõàòîìíîé ìîëåêóëû. Äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé òàêîé ìîëå-
êóëû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü åå äâèæåíèå â êàêîé-ëèáî îäíîé ïëîñêîñòè. Äåéñòâè-
òåëüíî, åñëè ìîëåêóëà íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, òî êîëåáàíèÿ àòîìîâ ìîëåêóëû äîëæíû
ïðîèñõîäèòü â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ àòîìîâ.  ïðîòèâ-
íîì ñëó÷àå âîçíèêëî áû âðàùåíèå ìîëåêóëû.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ è ïðîñòûì ïîä-
ñ÷åòîì ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé
ñâîáîäû íåëèíåéíîé òðåõàòîìíîé ìîëåêóëû ðàâíî 3 × 3 − 6 = 3. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè
äâèæåíèè â ïëîñêîñòè èìååòñÿ äâå ïîñòóïàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû è îäíà âðàùàòåëü-
íàÿ, ïîýòîìó ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû â ýòîì ñëó÷àå òàêæå ðàâíî òðåì
[2 × 3 − (2 + 1) = 3]. Òàêèì îáðàçîì, ïëîñêèìè êîëåáàíèÿìè èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå êîëåáà-
òåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû ðàññìàòðèâàåìîé ìîëåêóëû. Åñëè æå ìîëåêóëà ëèíåéíà, òî
÷èñëî åå êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî 3 × 3 − 5 = 4, ò.ê. ÷èñëî âðàùàòåëüíûõ
ñòåïåíåé ñâîáîäû â ýòîì ñëó÷àå íà åäèíèöó ìåíüøå ïî ñðàâíåíèþ ñ íåëèíåéíîé ìî-
ëåêóëîé (äëÿ çàäàíèÿ îðèåíòàöèè ëèíåéíîé ìîëåêóëû òðåáóåòñÿ ëèøü äâà ïàðàìåòðà,
ò.ê. ïîâîðîò ìîëåêóëû âîêðóã åå îñè íå ìåíÿåò ïîëîæåíèé àòîìîâ). Ýòî ñîîòâåòñòâóåò
òîìó, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ìîëåêóëû âîçìîæíî íàëîæåíèå êîëåáàíèé, ïðîèñõîäÿùèõ â
äâóõ ïëîñêîñòÿõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî îñè ìîëåêóëû. Ïðè ýòîì ÷àñòîòû òàêèõ êîëåáà-
íèé äîëæíû ñîâïàäàòü â ñèëó ñèììåòðèè ìîëåêóëû îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ âîêðóã åå
îñè. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé ëèíåéíîé ìîëåêóëû, ïðè êîòîðûõ
àòîìû îòêëîíÿþòñÿ îò îñè ìîëåêóëû, ÿâëÿþòñÿ äâóêðàòíî âûðîæäåííûìè. Äëÿ íàõîæ-
äåíèÿ æå âñåõ íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ëèíåéíîé ìîëåêóëû ïî-ïðåæíåìó
äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü êàæäîå òàêîå êîëåáàíèå êàê ïëîñêîå.
   Ïðèìåíèì èçëîæåííóþ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ñõåìó ê îïðåäåëåíèþ ìàëûõ êîëåáà-
íèé ëèíåéíîé ìîëåêóëû òèïà ìîëåêóëû CO2 . Ñîâìåñòèì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ àòîìà
óãëåðîäà ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, à àòîìîâ êèñëîðîäà  ñ îñüþ x. Ïåðåíóìåðóåì àòîìû
ñëåâà íàïðàâî è îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè C è O â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ
÷åðåç l (ñì. Ðèñ. 7). Òîãäà

                    r10 = (−l, 0, 0) ,   r20 = (0, 0, 0) ,   r30 = (l, 0, 0) ,

è óñëîâèÿ (117), (120) ïðèíèìàþò âèä

                               m(u1 + u3 ) + M u2 = 0 ,                           (121)
                                     [r10 , u1 − u3 ] = 0 ,                       (122)

ãäå m è M îáîçíà÷àþò ìàññû àòîìîâ êèñëîðîäà è óãëåðîäà, ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæå
ó÷òåíî, ÷òî r30 = −r10 . Ïóñòü êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò â ïëîñêîñòè x, y. Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòü
óñëîâèÿ (121) òàêæå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, è óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî


                                             44

Страницы