Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α
α ≈
y
1
− y
2
l
+
y
3
− y
2
l
.
U x
i
, y
i
, α
(x
1
−x
2
)
2
, (x
1
−x
2
)(x
2
−x
3
), (x
1
−x
2
)α
C −O
U(r) = U(|r
1
− r
2
|, |r
3
− r
2
|, α)
(x
1
− x
2
)(x
2
− x
3
)
U = U(l, l, 0) +
k
2
(x
1
− x
2
)
2
+
k
2
(x
3
− x
2
)
2
+
κl
2
α
2
2
,
k, κ
x
1
, x
2
, x
3
, y
1
, y
2
, y
3
x
1
, x
3
y
1
.
x
2
= −
m(x
1
+ x
3
)
M
, y
3
= y
1
, y
2
= −
2my
1
M
.
L =
m( ˙x
2
1
+ ˙y
2
1
+ ˙x
2
3
+ ˙y
2
3
)
2
+
M( ˙x
2
2
+ ˙y
2
2
)
2
− U ,
L =
m
2
³
1 +
m
M
´
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
3
) +
m
2
M
˙x
1
˙x
3
+ m
µ
1 +
2m
M
˙y
2
1
− 2κ
µ
1 +
2m
M
2
y
2
1
−
k
2
½
1 +
2m
M
³
1 +
m
M
´
¾
(x
2
1
+ x
2
3
) −
2km
M
³
1 +
m
M
´
x
1
x
3
.
y
1
˙y
1
, x
1
, x
3
, ˙x
1
, ˙x
3
.
y
1
.
∂L
∂ ˙y
1
= 2m
µ
1 +
2m
M
˙y
1
,
∂L
∂y
1
= −4κ
µ
1 +
2m
M
2
y
1
,
m¨y
1
+ 2κ
µ
1 +
2m
M
y
1
= 0 .
y
1
(t) = C
(1)
cos(ω
1
t + φ
(1)
) ,
Äàëåå, ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ ìîëåêóëû óãîë α ìàë, è ïîýòîìó
                                          y1 − y2 y3 − y2
                                    α≈           +        .
                                             l       l
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè U ïî ìàëûì xi , yi , α ñîäåðæèò, âîîáùå ãîâîðÿ, âñåâîçìîæíûå ïðî-
èçâåäåíèÿ: (x1 −x2 )2 , (x1 −x2 )(x2 −x3 ), (x1 −x2 )α è ò.ä. Îäíàêî äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàññìîò-
ðèì ñëó÷àé, êîãäà ïîòåíöèàëüíûå ýíåðãèè âàëåíòíûõ ñâÿçåé C − O íåçàâèñèìû äðóã îò
äðóãà, à òàêæå îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äåôîðìàöèîííûõ êîëåáàíèé. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè U (r) = U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) îòñóòñòâóþò ïåðåêðåñòíûå
÷ëåíû (x1 − x2 )(x2 − x3 ) è ò.ä., ò.å.
                                     k             k              κl2 α2
                    U = U (l, l, 0) + (x1 − x2 )2 + (x3 − x2 )2 +        ,
                                     2             2                2
ãäå k, κ  íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.
    Òàê êàê èìååòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçåé (123)  (125), òî èç øåñòè ïåðåìåííûõ
x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 òîëüêî òðè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáùåí-
íûõ êîîðäèíàò x1 , x3 è y1 . Òîãäà îñòàëüíûå ïåðåìåííûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáîáùåííûå
êîîðäèíàòû èç óðàâíåíèé ñâÿçè:
                                m(x1 + x3 )                             2my1
                       x2 = −               ,    y3 = y1 ,     y2 = −        .
                                   M                                     M
Ïîäñòàâëÿÿ èõ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
                            m(ẋ21 + ẏ12 + ẋ23 + ẏ32 ) M (ẋ22 + ẏ22 )
                       L=                                +                 −U,
                                         2                       2
ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, îïèñûâàþùóþ ìàëûå êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû:
                                                     µ       ¶            µ    ¶2
          m³       m´ 2        2     m2                   2m     2          2m
      L =      1+     (ẋ1 + ẋ3 ) +     ẋ1 ẋ3 + m 1 +       ẏ1 − 2κ 1 +       y12
           2      M                   M                   M                 M
             ½                   ¾
          k       2m ³      m´                     2km ³    m´
        −     1+       1+           (x21 + x23 ) −       1+       x1 x3 .             (127)
          2       M        M                        M       M
Êàê âèäíî, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ ëèáî
òîëüêî îò y1 è ẏ1 , ëèáî îò x1 , x3 , ẋ1 , ẋ3 . Ýòî  ñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòè
âàëåíòíûõ è äåôîðìàöèîííûõ êîëåáàíèé. Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
ïî ýòèì äâóì íàáîðàì ïåðåìåííûõ ìîæíî èñêàòü íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Ðàññìîòðèì
ñïåðâà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïî ïåðåìåííîé y1 . Èìååì
                               µ               ¶                   µ       ¶2
                     ∂L                  2m              ∂L             2m
                           = 2m 1 +                ẏ1 ,     = −4κ 1 +        y1 ,
                     ∂ ẏ1               M               ∂y1            M
ïîýòîìó óðàâíåíèå Ëàãðàíæà èìååò âèä
                                   µ       ¶
                                        2m
                          mÿ1 + 2κ 1 +      y1 = 0 .
                                        M
Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü

                                  y1 (t) = C (1) cos(ω1 t + φ(1) ) ,

                                                46

Страницы