Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C
(1)
φ
(1)
ω
1
=
s
2κ
m
µ
1 +
2m
M
CO
2
,
x
1
(t)
x
3
(t)
y
1
(t)
= C
(1)
0
0
1
cos(ω
1
t + φ
(1)
) .
m
αβ
=
µ
mρ m
2
/M
m
2
/M mρ
, k
αβ
=
µ
k(1 + 2mρ/M) 2kmρ/M
2kmρ/M k(1 + 2mρ/M)
,
ρ = 1 + m/M.
det
µ
−mρω
2
+ k(1 + 2mρ/M) −m
2
/Mω
2
+ 2kmρ/M
−m
2
/Mω
2
+ 2kmρ/M −mρω
2
+ k(1 + 2mρ/M)
= 0 ,
−mρω
2
+ k(1 + 2mρ/M) = ±(−m
2
/Mω
2
+ 2kmρ/M) .
ω
2
=
r
k
m
, ω
3
=
r
k(2m + M)
mM
.
ω
2,3
x
1
(t)
x
3
(t)
y
1
(t)
= C
(2)
1
−1
0
cos(ω
2
t + φ
(2)
) ,
x
1
(t)
x
3
(t)
y
1
(t)
= C
(3)
1
1
0
cos(ω
3
t + φ
(3)
)
C
(2)
, C
(3)
φ
(2)
, φ
(3)
.
CO
2
x, y
x
1
(t)
x
3
(t)
y
1
(t)
= C
(1)
0
0
1
cos(ω
1
t+φ
(1)
)+C
(2)
1
−1
0
cos(ω
2
t+φ
(2)
)+C
(3)
1
1
0
cos(ω
3
t+φ
(3)
) .
x, z.
y z.
ãäå C (1) è φ(1)  ïðîèçâîëüíûå àìïëèòóäà è ôàçà, à
                                       s    µ       ¶
                                         2κ      2m
                                  ω1 =        1+
                                         m       M

 ÷àñòîòà êîëåáàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, îïèñûâà-
þùåå äåôîðìàöèîííîå êîëåáàíèå ìîëåêóëû CO2 , èìååò âèä
                                        
                          x1 (t)          0
                        x3 (t) = C (1) 0 cos(ω1 t + φ(1) ) .
                          y1 (t)          1

   Ðàññìîòðèì òåïåðü âàëåíòíûå êîëåáàíèÿ. Ìàòðèöû êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèé èìåþò ñëåäóþùèé âèä
               µ             ¶         µ                            ¶
                  mρ m2 /M               k(1 + 2mρ/M )    2kmρ/M
         mαβ =                 , kαβ =                                ,
                 m2 /M mρ                   2kmρ/M     k(1 + 2mρ/M )

ãäå ρ = 1 + m/M. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
                 µ                                            ¶
                   −mρω 2 + k(1 + 2mρ/M ) −m2 /M ω 2 + 2kmρ/M
             det                                                = 0,
                    −m2 /M ω 2 + 2kmρ/M −mρω 2 + k(1 + 2mρ/M )
èëè
                   −mρω 2 + k(1 + 2mρ/M ) = ±(−m2 /M ω 2 + 2kmρ/M ) .
Îòñþäà íàõîäèì ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû
                             r          r
                               k          k(2m + M )
                        ω2 =     , ω3 =              .
                               m             mM
Ýòè ÷àñòîòû ðàçëè÷íû, ò.å. ñèñòåìà íåâûðîæäåíà. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (108), íàõîäèì
÷àñòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòàì ω2,3
                                                           
       x1 (t)           1                       x1 (t)           1
     x3 (t) = C (2) −1 cos(ω2 t + φ(2) ) , x3 (t) = C (3) 1 cos(ω3 t + φ(3) )
       y1 (t)           0                        y1 (t)          0

ñ ïðîèçâîëüíûìè àìïëèòóäàìè C (2) , C (3) è ôàçàìè φ(2) , φ(3) . Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðå-
øåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, îïèñûâàþùåå êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû CO2 â ïëîñêîñòè x, y
èìååò âèä
                                                                         
  x1 (t)          0                              1                             1
x3 (t) = C (1) 0 cos(ω1 t + φ(1) ) + C (2) −1 cos(ω2 t + φ(2) ) + C (3) 1 cos(ω3 t + φ(3) ) .
  y1 (t)          1                              0                             0

   Êàê áûëî óêàçàíî âûøå, ëèíåéíàÿ ìîëåêóëà ìîæåò ñîâåðøàòü îäíîâðåìåííî êîëå-
áàíèÿ â äâóõ ïëîñêîñòÿõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëîæåíèÿ ðàâíî-
âåñèÿ àòîìîâ.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÷åòâåðòûì íåçàâèñèìûì íîðìàëüíûì êîëåáà-
íèåì ÿâëÿåòñÿ äåôîðìàöèîííîå êîëåáàíèå â ïëîñêîñòè x, z. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå
ïîëó÷èòñÿ, åñëè â âûøåïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ çàìåíèòü y íà z.

                                               47

Страницы