Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

s = 3 + 2 + 1 = 6.
s = 3 + 2 = 5.
R.
R
(x
0
, y
0
, z
0
)
z φ,
x
0
θ z
0
ψ
(φ, θ, ψ)
r
i
(R, φ, θ, ψ), i = 1, ..., N, ρ
i
= r
i
− R,
i
ρ
i
dϕ
dt.
ρ
i
dρ
i
= [dϕ, ρ
i
] .
ρ
i
= r
i
− R dt,
˙
r
i
=
˙
R + [Ω, ρ
i
] ,
  Ÿ3. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà

    Åñëè â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òàêîâî, ÷òî
èçìåíåíèåì âçàèìíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî òàêóþ
ñèñòåìó íàçûâàþò òâåðäûì òåëîì. Èññëåäóåì äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ñëåäóÿ îáùåìó
àëãîðèòìó ïðèìåíåíèÿ ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà, óêàçàííîìó â íà÷àëå ãëàâû III.
    A. Îïðåäåëèì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà. Çàôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî åãî
òî÷êó. Äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ çàäàòü òðè åå ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû (íàïðèìåð,
äåêàðòîâû). Ïîñëå ýòîãî çàôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî äðóãóþ òî÷êó òåëà. Ïîñêîëüêó ðàñ-
ñòîÿíèÿ ìåæäó âñåìè òî÷êàìè òåëà ôèêñèðîâàíû, òî äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ çàäàòü äâå
åå êîîðäèíàòû (íàïðèìåð, äâà óãëà, îïðåäåëÿþùèå íàïðàâëåíèå âåêòîðà, ñîåäèíÿþùå-
ãî âûáðàííûå òî÷êè). Íàêîíåö, åñëè â òâåðäîì òåëå èìåþòñÿ òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå
ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïåðâûå äâå òî÷êè, òî îñòàþùèéñÿ ïðîèçâîë â èõ ïîëîæåíèè
ñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîòàì âîêðóã óêàçàííîé ïðÿìîé, äëÿ ôèêñàöèè êîòîðîãî íåîáõîäèìî
çàäàòü îäèí ïàðàìåòð, íàïðèìåð, óãîë ïîâîðîòà. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà s = 3 + 2 + 1 = 6. Åñëè æå âñå òî÷êè òâåðäîãî òåëà
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òàêîãî òåëà s = 3 + 2 = 5.
    B. Âûáåðåì òåïåðü îáîáùåííûå êîîðäèíàòû òâåðäîãî òåëà. Äëÿ îïèñàíèÿ ïîñòóïà-
òåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà óäîáíî ââåñòè ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà èíåðöèè òåëà, R.
Çà ïåðâûå òðè îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ìû ïðèìåì äåêàðòîâû êîìïîíåíòû R â íåêîòî-
ðîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (êîòîðóþ ìû òàêæå áóäåì íàçûâàòü íåïîäâèæíîé).
Äëÿ îïèñàíèÿ æå åãî âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëèì òðè óãëîâûõ êîîðäèíàòû
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ââåäåì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, æåñòêî ñâÿçàííóþ ñ òâåð-
äûì òåëîì, à â íåé  äåêàðòîâó êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó, íà÷àëî êîòîðîé ïîìåñòèì â
öåíòðå èíåðöèè òåëà, à íàïðàâëåíèÿ êîîðäèíàòíûõ îñåé âûáåðåì ïîêà ïðîèçâîëüíî.
Îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû áóäåì îòëè÷àòü øòðèõîì, (x0 , y 0 , z 0 ). Ëþáóþ äàííóþ îðèåíòà-
öèþ òâåðäîãî òåëà ìîæíî ïîëó÷èòü èç íåêîòîðîé èñõîäíîé, ïîâîðà÷èâàÿ ïîäâèæíóþ
ñèñòåìó êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé. Ïðè ýòîì óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòðû
îáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò. Ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíûõ ïåðå-
íîñîâ ïîäâèæíîé ñèñòåìû, ïîñêîëüêó òàêèå ïåðåíîñû íå ìåíÿþò åå îðèåíòàöèè. Ïóñòü
èñõîäíîé ÿâëÿåòñÿ îðèåíòàöèÿ, êîãäà êîîðäèíàòíûå îñè îáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò. Òîãäà
ïîâåðíåì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó 1) âîêðóã îñè z íà óãîë φ, çàòåì 2) âîêðóã íîâîãî ïîëî-
æåíèÿ îñè x0 íà óãîë θ è, íàêîíåö, 3) âîêðóã íîâîãî ïîëîæåíèÿ îñè z 0 íà óãîë ψ (ñì.
Ðèñ. 8). Âñå ïîâîðîòû ïðîèçâîäÿòñÿ ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà. Îïðåäåëåííûå òàêèì
îáðàçîì óãëû (φ, θ, ψ) íàçûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà.
    C. Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèè
ri (R, φ, θ, ψ), i = 1, ..., N, óäîáíî ââåñòè âåêòîð ρi = ri − R, ñîåäèíÿþùèé öåíòð ìàññ
òåëà ñ åãî i-îé ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè òâåðäîãî
òåëà íåèçìåííû, òî âåêòîð ρi îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïî âåëè÷èíå ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî
òåëà, ìåíÿÿ ëèøü ñâîå íàïðàâëåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç dϕ áåñêîíå÷íî ìàëûé âåêòîð, íà-
ïðàâëåííûé ïî îñè ïîâîðîòà òåëà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè, è ïî âåëè÷èíå ðàâíûé óãëó
ïîâîðîòà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt. Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëå (34) èçìåíåíèå âåêòîðà
ρi çà ýòî âðåìÿ åñòü
                                          dρi = [dϕ, ρi ] .
Ïîäñòàâëÿÿ ρi = ri − R â ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà è äåëÿ åãî íà dt, ïîëó÷àåì

                                  ṙi = Ṙ + [Ω, ρi ] ,                           (128)


                                           48

Страницы