Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
P
i=1
m
i
ρ
i
= 0.
N
X
i=1
m
i
[Ω, ρ
i
]
2
2
=
N
X
i=1
m
i
2
©
Ω
2
ρ
2
i
− (Ω, ρ
i
)
2
ª
≡
N
X
i=1
m
i
2
3
X
α,β=1
n
Ω
α
Ω
β
δ
αβ
ρ
2
i
− Ω
α
ρ
α
i
Ω
β
ρ
β
i
o
=
3
X
α,β=1
Ω
α
Ω
β
N
X
i=1
m
i
2
n
δ
αβ
ρ
2
i
− ρ
α
i
ρ
β
i
o
,
Ω ρ
i
, δ
αβ
Ω ρ
i
,
ρ
α
i
I
αβ
=
N
X
i=1
m
i
n
δ
αβ
ρ
2
i
− ρ
α
i
ρ
β
i
o
T =
µ
˙
R
2
2
+
1
2
3
X
α,β=1
I
αβ
Ω
α
Ω
β
,
α, β
I
αβ
= I
βα
.
I
αβ
I
αβ
= 0 α 6= β.
I
αα
≡ I
α
T =
µ
˙
R
2
2
+
1
2
¡
I
x
0
Ω
2
x
0
+ I
y
0
Ω
2
y
0
+ I
z
0
Ω
2
z
0
¢
.
t
0
[t
0
, t
0
+ dt]. dϕ,
(dϕ)
x
0
, (dϕ)
y
0
, (dϕ)
z
0
dt.
t
0
t
0
+ dt t
0
.
Ω
x
0
, Ω
x
0
,Ω
x
0
P
N
      mi ρi = 0. Òðåòèé æå ÷ëåí ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
i=1


                                                            mi X n                           o
      N
      X                      XN                          N      3
        mi [Ω, ρi ]2             mi © 2 2           2
                                                      ª X                  αβ 2      α     β
                           =         Ω ρi − (Ω, ρi ) ≡              Ωα Ωβ δ ρi − Ωα ρi Ωβ ρi
      i=1
                  2          i=1
                                 2                      i=1
                                                            2 α,β=1

                            mi n                          o
            3
            X             N
                          X
      =           Ωα Ωβ              δ αβ ρ2i − ραi ρβi       ,                                       (131)
          α,β=1           i=1
                                2

ãäå ãðå÷åñêèå èíäåêñû íóìåðóþò äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âåêòîðîâ Ω è ρi , à δ αβ  åäè-
íè÷íàÿ ìàòðèöà. Ïîñêîëüêó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíûå ïðî-
èçâåäåíèÿ âåêòîðîâ Ω è ρi , òî íå èìååò çíà÷åíèÿ â êàêîé ñèñòåìå âû÷èñëÿþòñÿ èõ
êîìïîíåíòû. Îäíàêî â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îíè èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì èç-çà âðà-
ùåíèÿ òåëà, òîãäà êàê â ïîäâèæíîé ñèñòåìå ραi ôèêñèðîâàíû. Ïîýòîìó â ýòîé ñèñòåìå
ìàòðèöà
                                                          N
                                                          X         n                             o
                                             I   αβ
                                                      =           mi δ   αβ
                                                                              ρ2i   −   ραi ρβi       (132)
                                                          i=1

ïîñòîÿííà è, â ÷àñòíîñòè, íå çàâèñèò îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Ýòà ìàòðèöà íàçûâà-
åòñÿ òåíçîðîì ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé åãî ìåõàíè÷åñêîé õàðàê-
òåðèñòèêîé. Èòàê, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâåðäîãî òåëà ïðèíèìàåò âèä
                                                         3
                                               µṘ2 1 X αβ
                                           T =     +         I Ωα Ωβ ,                                (133)
                                                2    2 α,β=1

ãäå èíäåêñû α, β íóìåðóþò îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïî îïðåäåëåíèþ, òåí-
çîð ìîìåíòîâ èíåðöèè ñèìåòðè÷åí: I αβ = I βα . Êàê è âñÿêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà,
ïîâîðîòîì ñèñòåìû êîîðäèíàò I αβ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, ò.å.
ê âèäó, â êîòîðîì I αβ = 0 ïðè α 6= β. Êîîðäèíàòíûå îñè, â êîòîðûõ òåíçîð ìîìåíòîâ
äèàãîíàëåí, íàçûâàþò ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè, à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû I αα ≡ Iα 
ãëàâíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè òåëà. Òåïåðü ìû êîíêðåòèçèðóåì âûáîð ñèñòåìû êîîð-
äèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, äîãîâîðèâøèñü âûáèðàòü îñè ýòîé ñèñòåìû
âäîëü ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà. Òîãäà âûðàæåíèå (133) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ:

                                        µṘ2 1 ¡                               ¢
                                    T =     +    Ix0 Ω2x0 + Iy0 Ω2y0 + Iz0 Ω2z0 .                     (134)
                                         2    2
Çàìåòèì, ÷òî èç ýòîé ôîðìóëû íåòðóäíî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà âðà-
ùàþùåãîñÿ òåëà. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 è ðàññìîòðèì ýâîëþöèþ
òåëà çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè [t0 , t0 + dt]. Ïî îïðåäåëåíèþ óãëà dϕ, åãî ïðîåê-
öèè íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû (dϕ)x0 , (dϕ)y0 , (dϕ)z0 îïðåäåëÿþò óãëû ïîâîðîòà òåëà
âîêðóã ýòèõ îñåé çà âðåìÿ dt. Ýòè ïðîåêöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå òåëà
â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îò t0 äî t0 + dt ïî åãî ïîëîæåíèþ â ìîìåíò âðåìåíè t0 . Åñ-
ëè âðåìåííî ïðèíÿòü èõ çà îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, òî êîìïîíåíòû Ωx0 , Ωx0 ,Ωx0 áóäóò
èãðàòü ðîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ôîðìóëå (40)


                                                                  50

Страницы