Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

l z
0
m
1
z
0
1
+ m
2
z
0
2
= 0. |z
0
1
−z
0
2
| = l,
z
0
1
= −m
2
l/(m
1
+ m
2
), z
0
2
= m
1
l/(m
1
+ m
2
)
z
0
2
> z
0
1
. x
0
, y
0
I
x
0
x
0
, I
y
0
y
0
,
I
x
0
x
0
= I
y
0
y
0
=
2
X
i=1
m
i
ρ
2
i
= m
1
µ
m
2
l
m
1
+ m
2
2
+ m
2
µ
m
1
l
m
1
+ m
2
2
= ml
2
,
m I
αβ
M R.
I
x
0
= I
y
0
= I
z
0
≡ I.
3I = I
x
0
+ I
y
0
+ I
z
0
=
N
X
i=1
m
i
©
δ
11
ρ
2
i
− x
02
i
ª
+
N
X
i=1
m
i
©
δ
22
ρ
2
i
− y
02
i
ª
+
N
X
i=1
m
i
©
δ
33
ρ
2
i
− z
02
i
ª
= 2
N
X
i=1
m
i
ρ
2
i
.
m
i
dV m
i
= ρdV, ρ = M/V i
I =
2
3
Z
V
r
2
ρdV =
2ρ
3
R
Z
0
r
2
4πr
2
dr =
8π
15
ρR
5
,
I =
2
5
MR
2
.
I
x
0
= I
y
0
.
L =
µ
˙
R
2
2
+
1
2
n
I
x
0
(
˙
φ
2
sin
2
θ +
˙
θ
2
) + I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ)
2
o
.
R, φ, ψ
p
R
=
∂L
∂
˙
R
= µ
˙
R ,
p
φ
=
∂L
∂
˙
φ
= I
x
0
˙
φ sin
2
θ + I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ) cos θ ,
p
ψ
=
∂L
∂
˙
ψ
= I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ) .
àòîìàìè ÷åðåç l è âûáåðåì îñü z 0 ïî îñè ðîòàòîðà. Çàòåì ñîâìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò
ñ öåíòðîì èíåðöèè ðîòàòîðà, ïîòðåáîâàâ m1 z10 + m2 z20 = 0. Ïîñêîëüêó |z10 − z20 | = l, òî èç
ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî z10 = −m2 l/(m1 + m2 ), z20 = m1 l/(m1 + m2 ) (ñ÷èòàÿ, ÷òî
z20 > z10 .) Ïîñêîëüêó x0 , y 0 -êîîðäèíàòû òî÷åê ðàâíû íóëþ, òî èç ôîðìóëû (132) ñëåäóåò,
÷òî èç âñåõ êîìïîíåíò òåíçîðà èíåðöèè îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü Ix0 x0 , Iy0 y0 , ïðè÷åì
                                X2             µ           ¶2      µ           ¶2
                                        2           m2 l                m1 l
              Ix0 x0 = Iy0 y0 =     mi ρi = m1                + m2                = ml2 ,
                                i=1
                                                 m 1 + m 2           m 1 + m 2

ãäå m åñòü ïðèâåäåííàÿ ìàññà ðîòàòîðà. Ïîñêîëüêó òåíçîð I αβ ïîëó÷èëñÿ äèàãîíàëü-
íûì, òî íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè ðîòàòîðà.
Ïðèìåð 10. Òåíçîð ìîìåíòîâ èíåðöèè îäíîðîäíîãî øàðà. Âû÷èñëèì òåíçîð ìîìåíòîâ
îäíîðîäíîãî øàðà ìàññû M è ðàäèóñà R.  ñèëó ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè öåíòð èíåðöèè
øàðà íàõîäèòñÿ â åãî öåíòðå, à òåíçîð èíåðöèè äèàãîíàëåí, ïðè÷åì Ix0 = Iy0 = Iz0 ≡ I.
Èìååì:
                     XN                    N                   N
                           © 11 2     02
                                         ª X    © 22 2    02
                                                             ª X      ©              ª
 3I = Ix + Iy + Iz =
        0    0    0     mi δ ρi − xi +        mi δ ρi − yi +      mi δ 33 ρ2i − zi02
                             i=1                          i=1                       i=1
            N
            X
      = 2         mi ρ2i .                                                                (139)
            i=1

Çäåñü ïîä mi ñëåäóåò ïîíèìàòü áåñêîíå÷íî ìàëóþ ìàññó, çàêëþ÷åííóþ â ýëåìåíòå îáú-
åìà dV øàðà: mi = ρdV, ãäå ρ = M/V åñòü ïëîòíîñòü òåëà, à ïîä ñóììîé ïî i  èíòåãðàë
ïî âñåìó åãî îáúåìó. Òàêèì îáðàçîì,
                                    Z                 ZR
                                2                2ρ                       8π 5
                             I=         r2 ρdV =           r2 4πr2 dr =      ρR ,
                                3                 3                       15
                                    V                 0
èëè
                                           2
                                      I = M R2 .                                 (140)
                                           5
Ïðèìåð 11. Ñâîáîäíîå äâèæåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà. Òâåðäîå òåëî, ó êîòîðîãî
êàêèå-ëèáî äâà ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè ðàâíû, íàçûâàþò ñèììåòðè÷åñêèì âîë÷êîì.
Òàêîâûì áóäåò, íàïðèìåð, ëþáîå òåëî, îáëàäàþùåå îñüþ ñèììåòðèè ÷åòâåðòîãî (èëè
âûøå) ïîðÿäêà. Äîãîâîðèìñÿ íóìåðîâàòü îñè òàê, ÷òîáû Ix0 = Iy0 . Â îòñóòñòâèå âíåøíèõ
ñèë ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà èìååò âèä
                      µṘ2 1 n                                                o
                L =       +     Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 . (141)
                       2     2
Êîîðäèíàòû R, φ, ψ ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì îáîáùåííûå èì-
ïóëüñû ñîõðàíÿþòñÿ:
                          ∂L
                    pR =       = µṘ ,                                           (142)
                          ∂ Ṙ
                          ∂L
                     pφ =      = Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,     (143)
                          ∂ φ̇
                          ∂L
                    pψ =       = Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .                           (144)
                          ∂ ψ̇

                                                 52

Страницы