Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d
g
i
d
g
i
G ≡ µ, d ≡ 0,
z
0
,
x, y.
l. z
L =
µ
³
˙
X
2
+
˙
Y
2
+
˙
Z
2
´
2
+
1
2
n
I
x
0
(
˙
φ
2
sin
2
θ +
˙
θ
2
) + I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ)
2
o
− µgZ ,
X, Y, Z R g
Z = l cos θ .
X, Y, φ, θ, ψ,
L =
µ
³
˙
X
2
+
˙
Y
2
+ l
2
˙
θ
2
sin
2
θ
´
2
+
1
2
n
I
x
0
(
˙
φ
2
sin
2
θ +
˙
θ
2
) + I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ)
2
o
− µgl cos θ .
X, Y, φ, ψ
p
X
=
∂L
∂
˙
X
= µ
˙
X ,
p
Y
=
∂L
∂
˙
Y
= µ
˙
Y ,
p
φ
=
∂L
∂
˙
φ
= I
x
0
˙
φ sin
2
θ + I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ) cos θ ,
p
ψ
=
∂L
∂
˙
ψ
= I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ) .
E =
µ
³
˙
X
2
+
˙
Y
2
+ l
2
˙
θ
2
sin
2
θ
´
2
+
1
2
n
I
x
0
(
˙
φ
2
sin
2
θ +
˙
θ
2
) + I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ)
2
o
+ µgl cos θ .
M, z.
ñèñòåìå. Ïîýòîìó ïðè äâèæåíèè òåëà d ìåíÿåò ëèøü ñâîå íàïðàâëåíèå, îñòàâàÿñü ïîñòî-
ÿííûì ïî âåëè÷èíå.  ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿäû gi  ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû,
à âåêòîð d åñòü ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò, â ñëó÷àå æå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ
gi  ýòî ìàññû òî÷åê òåëà, G ≡ µ, à âåêòîð d ≡ 0, ïîñêîëüêó íà÷àëî ïîäâèæíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò âûáðàíî â öåíòðå èíåðöèè òåëà.
   Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà â ïîëå òÿæåñòè (òÿæåëûé âîë÷îê).
Ïóñòü âîë÷îê èìååò òî÷êó îïîðû, ðàñïîëîæåííóþ íà îñè z 0 , êîòîðàÿ ìîæåò ñêîëüçèòü
áåç òðåíèÿ â ïëîñêîñòè x, y. Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà èíåðöèè âîë÷êà äî òî÷êè îïîðû
îáîçíà÷èì ÷åðåç l. Îñü z íàïðàâèì âåðòèêàëüíî ââåðõ. Òîãäà ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà âîë÷êà
áóäåò èìåòü âèä
               ³                  ´
             µ Ẋ 2 + Ẏ 2 + Ż 2     1n                                               o
        L =                         +    Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − µgZ , (145)
                      2               2
ãäå X, Y, Z  ïðîåêöèè âåêòîðà R íà îñè íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, à g  óñêî-
ðåíèå ñèëû òÿæåñòè. Íàëè÷èå îïîðû íàëàãàåò ñëåäóþùóþ ñâÿçü íà âîë÷îê:
                                             Z = l cos θ .
Ýòà ñâÿçü ãîëîíîìíà. Îíà óìåíüøàåò íà åäèíèöó ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû âîë÷êà. Âû-
áðàâ â êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò X, Y, φ, θ, ψ, âûðàæàåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ÷å-
ðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè
         ³                           ´
       µ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ     1n                                               o
  L =                                  +    Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − µgl cos θ .
                     2                   2
                                                                                                   (146)
Êîîðäèíàòû X, Y, φ, ψ  öèêëè÷åñêèå. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîõðàíÿþùèåñÿ îáîáùåííûå
èìïóëüñû èìåþò âèä
                              ∂L
                         pX =      = µẊ ,                                                        (147)
                              ∂ Ẋ
                              ∂L
                         pY =      = µẎ ,                                                        (148)
                              ∂ Ẏ
                              ∂L
                         pφ =      = Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,                  (149)
                              ∂ φ̇
                              ∂L
                         pψ =      = Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .                                        (150)
                              ∂ ψ̇
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (146) òàêæå íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ îáîá-
ùåííàÿ ýíåðãèÿ
      ³                            ´
     µ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ     1n                                              o
 E=                                  +   Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 + µgl cos θ .
                   2                   2
                                                                                                  (151)
Ñìûñë çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (147)  (150) òîò æå, ÷òî è â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî âîë÷êà. Â
îòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî, îäíàêî, ïðè íàëè÷èè ïîëÿ òÿæåñòè ñîõðàíÿåòñÿ íå âåñü âåêòîð
M , à ëèøü åãî ïðîåêöèÿ íà îñü z.

                                                 54

Страницы