Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X(t), Y (t), φ(t), θ(t), ψ(t).
p
X
= p
Y
= 0 X(t) = X(t
0
), Y (t) = Y (t
0
)
E
p
2
ψ
/I
z
0
.
p
φ
= I
x
0
˙
φ sin
2
θ + p
ψ
cos θ .
˙
φ
E
0
=
µl
2
2
˙
θ
2
sin
2
θ +
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
2
2I
x
0
sin
2
θ
+
I
x
0
2
˙
θ
2
+ µgl cos θ , E
0
= E −
p
2
ψ
2I
z
0
.
dt = ±
p
µl
2
sin
2
θ + I
x
0
dθ
s
2E
0
−
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
2
I
x
0
sin
2
θ
− 2µgl cos θ
,
t − t
0
=
θ
Z
θ
0
p
µl
2
sin
2
θ + I
x
0
dθ
±
s
2E
0
−
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
2
I
x
0
sin
2
θ
− 2µgl cos θ
, θ
0
= θ(t
0
) .
+ (−)
˙
θ > 0
˙
θ < 0 φ t
dφ =
(p
φ
− p
ψ
cos θ)dt
I
x
0
sin
2
θ
=
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
I
x
0
sin
2
θ
p
µl
2
sin
2
θ + I
x
0
dθ
±
s
2E
0
−
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
2
I
x
0
sin
2
θ
− 2µgl cos θ
,
φ − φ
0
=
θ
Z
θ
0
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
I
x
0
sin
2
θ
p
µl
2
sin
2
θ + I
x
0
dθ
±
s
2E
0
−
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
2
I
x
0
sin
2
θ
− 2µgl cos θ
, φ
0
= φ(t
0
) .
ψ − ψ
0
=
p
ψ
I
z
0
(t − t
0
) +
θ
Z
θ
0
(p
φ
− p
ψ
cos θ) cos θ
I
x
0
sin
2
θ
p
µl
2
sin
2
θ + I
x
0
dθ
±
s
2E
0
−
(p
φ
− p
ψ
cos θ)
2
I
x
0
sin
2
θ
− 2µgl cos θ
,
ψ
0
= ψ(t
0
) .
   Èòàê, ìû èìååì ñèñòåìó èç ïÿòè èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ äëÿ ïÿòè íåèçâåñòíûõ ôóíê-
öèé X(t), Y (t), φ(t), θ(t), ψ(t).
   Ïåðåéäåì ê èíòåãðèðîâàíèþ ýòîé ñèñòåìû. Êàê è â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî âîë÷êà, ìû
äëÿ ïðîñòîòû èñêëþ÷èì ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå âîë÷êà, ïåðåéäÿ â ñèñòåìó îòñ÷åòà, â
êîòîðîé pX = pY = 0 (è ñëåäîâàòåëüíî, X(t) = X(t0 ), Y (t) = Y (t0 )). Èç óðàâíåíèÿ (150)
ñëåäóåò, ÷òî âòîðîé ÷ëåí â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â âûðàæåíèè äëÿ E åñòü ïîñòîÿííàÿ,
ðàâíàÿ p2ψ /Iz0 . Äàëåå, èç óðàâíåíèé (149), (150) ñëåäóåò, ÷òî

                                    pφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .                            (152)
Âûðàæàÿ îòñþäà φ̇ è ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (151), ïîëó÷èì

          0  µl2 2 2       (pφ − pψ cos θ)2 Ix0 2                          0
                                                                                p2ψ
         E =    θ̇ sin θ +                 +   θ̇ + µgl cos θ ,          E =E−      .          (153)
              2               2Ix0 sin2 θ    2                                 2Iz0
Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â ýòîì óðàâíåíèè äà¼ò
                                   p
                                     µl2 sin2 θ + Ix0 dθ
                   dt = ± s                                         ,                          (154)
                                   (p   −  p   cos θ)2
                                      φ      ψ
                            2E 0 −                     − 2µgl cos θ
                                        Ix0 sin2 θ
îòêóäà èíòåãðèðîâàíèåì ïîëó÷àåì
                    Zθ         p
                                 µl2 sin2 θ + Ix0 dθ
           t − t0 =     s                                       ,        θ0 = θ(t0 ) .         (155)
                                (p  −   p  cos θ)2
                    θ0 ± 2E 0 −   φ      ψ
                                                   − 2µgl cos θ
                                    Ix sin2 θ
                                      0


Çíàê + (−) â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû áåðåòñÿ íà ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè, íà êîòîðûõ
θ̇ > 0 (θ̇ < 0). Äàëåå, ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå φ è t â óðàâíåíèè (152), è èñïîëüçóÿ
ðàâåíñòâî (154), íàõîäèì
                                                      p
          (pφ − pψ cos θ)dt   (pφ − pψ cos θ)           µl2 sin2 θ + Ix0 dθ
    dφ =                    =                  s                                         , (156)
              Ix0 sin2 θ         Ix0 sin2 θ            (p   −   p   cos θ)2
                                                          φ       ψ
                                              ± 2E 0 −                      − 2µgl cos θ
                                                            Ix sin2 θ
                                                              0


îòêóäà
               Zθ                           p
                    (pφ − pψ cos θ)           µl2 sin2 θ + Ix0 dθ
    φ − φ0 =                         s                                        ,   φ0 = φ(t0 ) . (157)
                       Ix0 sin2 θ            (p  −   p   cos θ)2
               θ0                              φ       ψ
                                    ± 2E 0 −                     − 2µgl cos θ
                                                 Ix sin2 θ
                                                   0


Íàêîíåö, ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (150) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (156) äàåò
                          Zθ                               p
          pψ                 (pφ − pψ cos θ) cos θ           µl2 sin2 θ + Ix0 dθ
 ψ − ψ0 =     (t − t0 ) +                           s                                         (,158)
          Iz0                     Ix0 sin2 θ                (p   −   p   cos θ)2
                          θ0                                   φ       ψ
                                                   ± 2E 0 −                      − 2µgl cos θ
                                                                 Ix sin2 θ
                                                                   0


                                                                                    ψ0 = ψ(t0 ) .
Ôîðìóëû (155), (157) è (158) îïðåäåëÿþò çàêîí äâèæåíèÿ âîë÷êà â êâàäðàòóðàõ.

                                                  55

Страницы