Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 57 стр.

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МГУ | Москва

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M
⊕
= I
⊕
Ω
⊕
, M
L
= I
L
Ω
L
.
´o.
M = mr
2
ω + I
⊕
Ω
⊕
+ I
L
Ω
L
= const .
T = 2π/ω, a = r, |α| = Gm
⊕
m
L
ω =
r
G(m
⊕
+ m
L
)
r
3
,
ω, r
ω
0
, r
0
µ
ω
0
ω
2
=
³
r
r
0
´
3
.
ω
0
= Ω
0
L
= Ω
0
⊕
,
mr
2
ω + I
⊕
Ω
⊕
+ I
L
Ω
L
= ω
0
¡
mr
02
+ I
⊕
+ I
L
¢
.
r
0
mr
2
ω + I
⊕
Ω
⊕
+ I
L
Ω
L
= ω
0
µ
mr
2
³
ω
ω
0
´
4/3
+ I
⊕
+ I
L
.
I
L
I
⊕
, m ≈ m
L
1 +
2m
⊕
5m
L
µ
R
⊕
r
2
µ
Ω
⊕
ω
− x
= x
−1/3
,
x = ω
0
/ω, x < 1
m
⊕
m
L
= 81 ,
Ω
⊕
ω
= 27 ,
R
⊕
r
= 1/60 .
x ≈ 0, 53,
27/0, 53 · 24 ≈ 1220 r
0
= rx
−2/3
≈ 1, 53r.
è Ëóíû ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè îðáèòû è, ñîãëàñíî ôîðìóëå (135), ïî âåëè÷èíå
ðàâíû
                             M⊕ = I⊕ Ω⊕ ,     ML = IL ΩL .                   (160)
Ïðè âû÷èñëåíèè ìîìåíòîâ èíåðöèè Çåìëè è Ëóíû èõ ìîæíî ñ÷èòàòü øàðîâûìè âîë÷-
êàìè, ïîñêîëüêó èçìåíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû ïëàíåòû ïîä äåéñòâèåì ïðèëèâíûõ
ñèë îòíîñèòåëüíî ìàëó. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâåí
                       M = mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = const .                   (161)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó èçìåíåíèå îðáèò ïîä äåéñòâèåì ïðèëèâíûõ ñèë ïðîèñõî-
äèò î÷åíü ìåäëåííî, äâèæåíèå ñèñòåìû íà êàæäîì âèòêå õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì
çàäà÷è äâóõ òåë, ïîëó÷åííûì â III Ÿ3. Ïîäñòàâëÿÿ T = 2π/ω, a = r, |α| = Gm⊕ mL â
ôîðìóëó (91), ïîëó÷àåì
                                    r
                                       G(m⊕ + mL )
                                 ω=                ,
                                           r3
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî òåêóùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ω, r ñâÿçàíû ñ èõ êîíå÷íûìè çíà÷å-
íèÿìè ω 0 , r0 òðåòüèì çàêîíîì Êåïëåðà
                                  µ 0 ¶2 ³ ´
                                    ω        r 3
                                         = 0 .                               (162)
                                    ω       r
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè
                                    ω 0 = Ω0L = Ω0⊕ ,
íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ (161)
                                              ¡              ¢
                   mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω 0 mr02 + I⊕ + IL .
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà r0 èç óðàâíåíèÿ (162), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ êîíå÷íîé óãëîâîé
ñêîðîñòè
                                        µ    ³ ω ´4/3          ¶
                 2                    0    2
              mr ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω mr             + I⊕ + IL .         (163)
                                              ω0
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (140) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàññà Ëóíû ïðèìåðíî â âîñåìüäåñÿò ðàç
ìåíüøå ìàññû Çåìëè, à åå ðàäèóñ  ïî÷òè â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå çåìíîãî, ïðåíåáðåàåì
IL ïî ñðàâíåíèþ ñ I⊕ , ïîëàãàåì m ≈ mL è ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèå (163) â âèäå
                                µ    ¶2 µ       ¶
                            2m⊕ R⊕        Ω⊕
                        1+                   − x = x−1/3 ,                   (164)
                            5mL    r      ω
ãäå x = ω 0 /ω, ïðè÷åì íàñ èíòåðåñóþò ðåøåíèÿ x < 1 (ò.ê. ïðèëèâíûå ñèëû çàìåäëÿþò
âðàùåíèå). Òåêóùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â ýòî óðàâíåíèÿ, òàêîâû:
                        m⊕            Ω⊕            R⊕
                           = 81 ,        = 27 ,        = 1/60 .
                        mL            ω              r
Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (164) ÿâëÿåòñÿ x ≈ 0, 53, ò.å. ïðîäîëæèòåëü-
íîñòü çåìíûõ ñóòîê ñîñòàâèò 27/0, 53 · 24÷.≈ 1220÷. Ïðè ýòîì r0 = rx−2/3 ≈ 1, 53r.

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