Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L(q, ˙q, t).
dL(q, ˙q, t) =
s
X
α=1
∂L
∂q
α
dq
α
+
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
d ˙q
α
+
∂L
∂t
dt .
∂L/∂ ˙q
α
p
q
α
,
q
α
. p
q
α
p
α
.
dL(q, ˙q, t) =
s
X
α=1
˙p
α
dq
α
+
s
X
α=1
p
α
d ˙q
α
+
∂L
∂t
dt .
q, ˙q
t.
q, p, t,
p
α
d ˙q
α
= d(p
α
˙q
α
) − ˙q
α
dp
α
, α = 1, ..., s
d
Ã
s
X
α=1
p
α
˙q
α
− L(q, ˙q, t)
!
= −
s
X
α=1
˙p
α
dq
α
+
s
X
α=1
˙q
α
dp
α
−
∂L
∂t
dt .
q, p, t
V. ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÎÐÌÀËÈÇÌ

   Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Ñêîáêè Ïóàññîíà. Òîæäåñòâî ßêîáè è òåîðåìà Ïóàññî-
íà. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òåîðåìû îá èí-
âàðèàíòíîñòè ñêîáîê Ïóàññîíà è ôàçîâîãî îáúåìà ïðè êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâà-
íèÿõ. Äåéñòâèå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Óðàâíåíèå
Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó:
óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè êàê êâàçèêëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.


   Ÿ1. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

   Îñíîâíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿþùåé ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåì â ôîðìàëèçìå
Ëàãðàíæà, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L(q, q̇, t).  ðàìêàõ ñàìîé êëàññè÷åñêîé ìåõà-
íèêè ýòà ôóíêöèÿ íå èìååò íåïîñðåäñòâåííîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà
çàäà÷ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, à òàêæå ïðè ôîðìóëèðîâêå ïåðåõîäà ê êâàíòîâîé òåîðèè
óäîáíî ðàáîòàòü ñ âåëè÷èíàìè, áîëåå òåñíî ñâÿçàííûìè ñ ìåõàíè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè
ñèñòåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíèêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå, â
êîòîðîì ðîëü îñíîâíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùåé ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû, èã-
ðàåò îáîáùåííàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû, à â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ èñïîëüçóþòñÿ
îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è îáîáùåííûå èìïóëüñû ñèñòåìû. Ìàòåìàòè÷åñêè òàêîé ïå-
ðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà, êîòîðîå
ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîñòðîèì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè Ëàãðàíæà
                                       Xs             Xs
                                           ∂L             ∂L           ∂L
                      dL(q, q̇, t) =            dqα +           dq̇α +    dt .         (165)
                                       α=1
                                           ∂q α       α=1
                                                          ∂ q̇α        ∂t

Âåëè÷èíà ∂L/∂ q̇α åñòü, ïî îïðåäåëåíèþ, îáîáùåííûé èìïóëüñ pqα , ñîîòâåòñòâóþùèé
îáîáùåííîé êîîðäèíàòå qα . Äëÿ êðàòêîñòè, îáîçíà÷åíèå pqα áóäåò ñîêðàùàòüñÿ íèæå
äî pα . Ñ ýòèì îáîçíà÷åíèåì, à òàêæå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ðàâåíñòâî (165)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
                                        s
                                        X                  s
                                                           X                 ∂L
                       dL(q, q̇, t) =          ṗα dqα +         pα dq̇α +      dt .   (166)
                                         α=1               α=1
                                                                             ∂t

Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (166) ñîäåðæèò äèôôåðåíöèàëû íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ q, q̇
è t. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïåðåéòè îò ýòîãî íàáîðà ê íîâîìó íàáîðó íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
q, p, t, íàïèøåì òîæäåñòâåííî
                           pα dq̇α = d(pα q̇α ) − q̇α dpα ,         α = 1, ..., s
è ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (166) â âèäå
              Ã s                      !     s             s
               X                            X             X             ∂L
            d      pα q̇α − L(q, q̇, t) = −     ṗα dqα +     q̇α dpα −    dt .        (167)
               α=1                          α=1           α=1
                                                                        ∂t

Òîò ôàêò, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî òîæäåñòâà ñîäåðæèò äèôôåðåíöèàëû ïåðåìåííûõ
q, p, t îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â åãî ëåâîé ÷àñòè ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôå-
ðåíöèàëà, òàêæå ìîæåò áûòü âûðàæåíà êàê ôóíêöèÿ ýòîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ. Â ñîîò-
âåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì (41), ýòà âåëè÷èíà ÷èñëåííî ñîâïàäàåò ñ îáîáùåííîé ýíåðãèåé

                                                   58

Страницы