Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H(q, p, t).
q, p
q, ˙q.
p = ∂L/∂ ˙q ˙q
E(q, ˙q, t). H(q, p, t)
s
X
α=1
∂H
∂q
α
dq
α
+
s
X
α=1
∂H
∂p
α
dp
α
+
∂H
∂t
dt = −
s
X
α=1
˙p
α
dq
α
+
s
X
α=1
˙q
α
dp
α
−
∂L
∂t
dt .
˙p
α
= −
∂H
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
˙
q
α
=
∂H
∂p
α
, α
= 1
, ..., s ,
∂H
∂t
= −
∂L
∂t
.
2s
2s q
α
(t), p
α
(t), α = 1, ..., s, s
∂L/∂t.
∂H/∂t = 0.
H(q, p) = const .
2s 2s
q
α
(t), p
α
(t), α = 1, ..., s
ñèñòåìû. Âûðàæåííàÿ ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû (è âðåìÿ), îíà íàçû-
âàåòñÿ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç H(q, p, t). Òàêèì îáðàçîì,
ïî îïðåäåëåíèþ, ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïåðåìåííûå q, p ðàññìàòðèâà-
þòñÿ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê â ôóíêöèè Ëàãðàíæà íåçà-
âèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûå q, q̇. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ýòó ôóíêöèþ, ñëåäóåò
ðàçðåøèòü îïðåäåëåíèå p = ∂L/∂ q̇ îòíîñèòåëüíî q̇ è ïîäñòàâèòü ðåçóëüòàò â ôóíêöèþ
E(q, q̇, t). Ðàñïèñàâ ÿâíî ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè H(q, p, t) â ëåâîé ÷àñòè (167),
ïîëó÷èì
         s
         X               Xs                       Xs            Xs
           ∂H                ∂H         ∂H                                    ∂L
                   dqα +          dpα +    dt = −     ṗα dqα +     q̇α dpα −    dt .   (168)
         α=1
               ∂qα       α=1
                             ∂p α       ∂t        α=1           α=1
                                                                              ∂t

Íàêîíåö, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè äèôôåðåíöèàëàõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
â ýòîì òîæäåñòâå, íàõîäèì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ

                                          ∂H
                                  ṗα = −      , α = 1, ..., s ,                        (169)
                                          ∂qα
                                        ∂H
                                  q̇α =     , α = 1, ..., s ,                           (170)
                                        ∂pα
                                 ∂H       ∂L
                                      = −     .                                         (171)
                                 ∂t       ∂t
Óðàâíåíèÿ (169), (170) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó 2s äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ 2s ôóíêöèé qα (t), pα (t), α = 1, ..., s, êîòîðûå çàìåíÿþò s óðàâíåíèé
âòîðîãî ïîðÿäêà (16) ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà. Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ-
ìè Ãàìèëüòîíà èëè êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè.


  Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà

   Äëÿ íàõîæäåíèÿ çàêîíà äâèæåíèÿ ñèñòåìû íåîáõîäèìî ïðîèíòåãðèðîâàòü äèôôå-
ðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (169), (170). Òàê æå êàê è â ôîðìàëèçìå Ëàãðàíæà, äëÿ ýòîãî
íàäî ñíà÷àëà èññëåäîâàòü ñèñòåìó íà íàëè÷èå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Åñëè ïðîñòðàíñòâî
îäíîðîäíî èëè èçîòðîïíî ïî êàêèì-ëèáî íàïðàâëåíèÿì, ñëåäóåò âûïèñàòü ñîîòâåòñòâó-
þùèå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ (33), (36), âûðàçèâ ëåâûå èõ ÷àñòè ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäè-
íàòû è îáîáùåííûå èìïóëüñû. Â òàêîì âèäå îíè áóäóò ïðåäñòàâëÿòü èíòåãðàëû óðàâ-
íåíèé Ãàìèëüòîíà.  ñëó÷àå îäíîðîäíîñòè çàäà÷è ïî âðåìåíè ñëåäóåò çàïèñàòü çàêîí
ñîõðàíåíèÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè (41). Êàê ìû çíàåì, ïðèçíàêîì ñîõðàíåíèÿ îáîáùåí-
íîé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ∂L/∂t. Èç óðàâíåíèÿ (171)
ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýòîì è ∂H/∂t = 0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû
íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè, òî èìååò ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ

                                        H(q, p) = const .

Íàéäåííûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò äîïîëíèòü óðàâíåíèÿìè èç íàáîðà (169),
(170) òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòü 2s íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿ 2s ôóíêöèé
qα (t), pα (t), α = 1, ..., s è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé.



                                              59

Страницы