Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L(x, ˙x) =
m ˙x
2
2
−
mω
2
x
2
2
,
m, ω
p =
∂L
∂ ˙x
= m ˙x .
˙x =
p
m
.
E =
m ˙x
2
2
+
mω
2
x
2
2
.
˙x,
H(x, p) =
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
.
p =
∂L
∂
˙
r
= m
˙
r +
q
c
A(r, t) .
˙
r =
1
m
³
p −
q
c
A(r, t)
´
.
H(r, p, t) =
1
2m
³
p −
q
c
A(r, t)
´
2
+ qϕ(r, t) .
H(x, p) =
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
+ λ
µ
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
2
,
m, ω, λ
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
+ λ
µ
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
2
= const ,
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
= C ,
Ïðèìåð 14. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ãàð-
ìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà
                                          mẋ2 mω 2 x2
                               L(x, ẋ) =     −        ,
                                           2     2
ãäå m, ω  ìàññà è ÷àñòîòà îñöèëÿòîðà. Îáîáùåííûé èìïóëüñ îñöèëëÿòîðà
                                        ∂L
                                 p=          = mẋ .
                                        ∂ ẋ
Îòñþäà âûðàæàåì îáîáùåííóþ ñêîðîñòü ÷åðåç îáîáùåííûé èìïóëüñ
                                               p
                                        ẋ =     .
                                               m
Îáîáùåííàÿ ýíåðãèÿ
                                   mẋ2 mω 2 x2
                               E=      +        .
                                     2     2
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ ẋ, íàõîäèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà îñöèëëÿòîðà

                                        p2   mω 2 x2
                            H(x, p) =      +         .                     (172)
                                        2m     2
Ïðèìåð 15. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Èç
ôóíêöèè Ëàãðàíæà (22) íàõîäèì îáîáùåííûé èìïóëüñ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïîëå
                                ∂L          q
                           p=        = mṙ + A(r, t) .
                                ∂ ṙ        c
Îòñþäà
                                1 ³     q       ´
                           ṙ =      p − A(r, t) .                      (173)
                                m       c
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â îáîáùåííóþ ýíåðãèþ (45), ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
                                  1 ³   q       ´2
                    H(r, p, t) =     p − A(r, t) + qϕ(r, t) .
                                 2m     c
Ïðèìåð 16. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ñ ÷àñòîòîé, çàâèñÿùåé îò àìïëèòóäû. Ðàññìîò-
ðèì îäíîìåðíóþ ñèñòåìó, ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà êîòîðîé èìååò âèä
                                           µ 2             ¶2
                           p2   mω 2 x2      p     mω 2 x2
                 H(x, p) =    +         +λ      +             ,            (174)
                           2m     2         2m       2
ãäå m, ω, λ  ïîñòîÿííûå ïîëîæèòåëüíûå ïàðàìåòðû. Íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà (174) íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, òî èìååì çàêîí
ñîõðàíåíèÿ
                                       µ 2           ¶2
                       p2   mω 2 x2     p    mω 2 x2
                          +         +λ     +            = const ,
                      2m      2         2m     2
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

                              p2   mω 2 x2
                                 +         =C,                             (175)
                              2m     2

                                         60

Страницы